e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теоремаЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теоремаТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теоремаГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теоремаЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теоремаПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теоремаЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теоремаЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах Геометрия (Стереометрия)

Ортогональнальная проекция прямой на плоскость.
Угол между прямой и плоскостью.
Теорема о трех перпендикулярах

ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема Проекция точки на плоскость. Проекция прямой на плоскость
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема Угол между прямой и плоскостью
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема Теорема о трех перпендикулярах. Обратная теорема

ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема

Проекция прямой на плоскость

      Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

      Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.

Ортогональная проекция прямой на плоскость ортогональная проекция точки на плоскость

Рис.1

      Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.

      Замечание 1. Рассматриваемый в данном разделе случай ортогонального проектирования точки на плоскость α представляет собой частный случай более общего понятия проектирования точки на плоскость параллельно некоторой прямой, необязательно перпендикулярной к плоскости. Такое проектирование используется в нашем справочнике при определении понятия «призма».

      Замечание 2. Если это не приводит к разночтениям, для упрощения формулировок термин «ортогональная проекция на плоскость» часто сокращают до термина «проекция на плоскость».

      Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a', образованную проекциями всех точек фигуры   a   на плоскость   α.

      Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).

Наклонная

Рис.2

      Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице

Фигура

Рисунок

Свойство проекции

Наклонная к плоскости α

ортогональное проектирование наклонная к плоскости

Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P' является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P'O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.

Прямая, параллельная плоскости

ортогональное проектирование прямая параллельная плоскости

На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости   α.

Если прямая a параллельна плоскости α, то проекцией прямой a является прямая a', лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO.

Прямая, лежащая на плоскости

ортогональное проектирование прямая лежащая в плоскости

Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a', совпадает с прямой a.

Прямая, перпендикулярная к плоскости

ортогональное проектирование прямая перпендикулярная плоскости

Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O, то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α.

Угол между прямой и плоскостью

Все возможные случаи, возникающие при определении понятия угла между прямой и плоскостью, представлены в следующей таблице.

Фигура

Рисунок

Определение

Наклонная к плоскости α

Угол между прямой и плоскостью

Углом между наклонной к плоскости (прямая PO) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P'O.)

На рисунке это угол φ

Прямая, параллельная плоскости

Угол между прямой и плоскостью

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Прямая, лежащая на плоскости

угол между прямой и плоскостью

Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Прямая, перпендикулярная к плоскости

Угол между прямой и плоскостью

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° (угол между прямой и плоскостью радиан).

Теорема о трех перпендикулярах

      Теорема о трех перпендикулярах. Если наклонная a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и проекция наклонной a' на плоскость α перпендикулярна к прямой b.

      Доказательство. Рассмотрим следующий рисунок 3.

Теорема о трех перпендикулярах

Рис.3

      На рисунке 3 буквой O обозначена точка пересечения наклонной a с плоскостью α. Точка P – произвольная точка на прямой a, а точка P' – это проекция точки P на плоскость α. Проведем через точку O прямую b', параллельную прямой b. Если прямая b проходит через точку O, то прямая b', совпадет с прямой b.

      Поскольку PP'перпендикуляр к плоскости α, то прямая PP' перпендикулярна к прямой b'. Прямая a перпендикулярна к прямой b' по условию. Таким образом, прямая b' перпендикулярна к двум пересекающимся прямым PO и PP', лежащим в плоскости POP'. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что прямая b' перпендикулярна к плоскости POP', откуда вытекает, что прямая b' перпендикулярна и к прямой a', лежащей на плоскости POP'.

      Теорема доказана.

      Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Если проекция a' наклонной a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и сама наклонная a перпендикулярна к прямой b.

      Доказательство. Как и для доказательства прямой теоремы о трех перпендикулярах, воспользуемся рисунком 3.

Теорема о трех перпендикулярах

Рис.3

      Прямая a' перпендикулярна к прямой b по условию обратной теоремы. Прямая PP' перпендикулярна к прямой b', поскольку PP'перпендикуляр к плоскости α. Таким образом, прямая b', перпендикулярна к двум пересекающимся прямым P'O и PP', лежащим в плоскости POP'. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости прямая b' перпендикулярна к плоскости POP'. Тогда, в частности, прямая b' перпендикулярна к прямой a, лежащей на плоскости POP'.

      Теорема доказана.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


      Яндекс цитирования