Mосква, Северо-восток
Справочник по математике Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательства Геометрия (Планиметрия)

Вневписанные окружности

      Теорема 1. В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.1

      Проведём биссектрисы углов DAC и ECA, которые являются внешними углами треугольника ABC. Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O. Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC, который является внутренним углом треугольника ABC, не смежным с внешними углами   DAC и ECA. С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF, OG и OH  на прямые AB, AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC, то справедливо равенство:

OF = OG,

      Поскольку CO – биссектриса угла ACE, то справедливо равенство:

OF = OG,

      Следовательно, справедливо равенство

OG = OH,

откуда вытекает, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC, что и требовалось доказать.

      Замечание 1.  В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

OF = OG = OH,

откуда вытекает, что точки F,G и H лежат на одной окружности с центром в точке O.

      Определение. Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник, или вневписанной окружностью, если она касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.2

      Замечание 2. У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

      Замечание 3. Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B, а окружность касается стороны b. Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b, и обозначать её радиус символом   rb .

      Теорема 2. Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC. Тогда отрезки касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

      Доказательство. Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

Радиус вневписанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника ABC. Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A. Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C. Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B. Отсюда получаем:

Радиус вневписанной окружности

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC. Теорема 2 доказана.

      Теорема 3. Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b, вычисляется по формуле

Радиус вневписанной окружности

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC, а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC.

      Доказательство. Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Радиус вневписанной окружности

      Следовательно, справедливо равенство

Радиус вневписанной окружности

что и требовалось доказать.

      Следствие. Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC  окружностей вычисляются по формулам:

Радиус вневписанной окружности

      Теорема 4. Если обозначить буквой r  радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Радиус вневписанной окружности

      Доказательство. Поскольку

Радиус вневписанной окружности

то

Радиус вневписанной окружности

      Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

Формулы для радиуса  окружности вписанной в треугольник,

получим

Радиус вневписанной окружности

что и требовалось доказать.

      Теорема 5. Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Радиус вневписанной окружности

      Доказательство. Перемножим формулы

Радиус вневписанной окружности

и воспользуемся формулой Герона:

Радиус вневписанной окружности

что и требовалось доказать.

      Теорема 6. Если обозначить буквой R  радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

ra + rb + rcr = 4R .

      Доказательство. Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Радиус вневписанной окружности

      Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Радиус вневписанной окружности

      В результате получаем равенство

Радиус вневписанной окружности

      Поскольку радиус описанной окружности удовлетворяет равенству

Формула для радиуса описанной окружности

то справедлива формула

ra + rb + rcr = 4R ,

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательства подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательства индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательстваЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательстваОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательства Тренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательстваОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательства ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательстваОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru



НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования