e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательстваЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательстваОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательства Тренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательстваОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательства ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательстваОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru



НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательства Геометрия (Планиметрия)

Вневписанные окружности

      Теорема 1. В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.1

      Проведём биссектрисы углов DAC и ECA, которые являются внешними углами треугольника ABC. Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O. Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC, который является внутренним углом треугольника ABC, не смежным с внешними углами   DAC и ECA. С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF, OG и OH  на прямые AB, AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC, то справедливо равенство:

OF = OG,

      Поскольку CO – биссектриса угла ACE, то справедливо равенство:

OF = OG,

      Следовательно, справедливо равенство

OG = OH,

откуда вытекает, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC, что и требовалось доказать.

      Замечание 1.  В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

OF = OG = OH,

откуда вытекает, что точки F,G и H лежат на одной окружности с центром в точке O.

      Определение. Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник, или вневписанной окружностью, если она касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.2

      Замечание 2. У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

      Замечание 3. Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B, а окружность касается стороны b. Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b, и обозначать её радиус символом   rb .

      Теорема 2. Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC. Тогда отрезки касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

      Доказательство. Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

Радиус вневписанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника ABC. Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A. Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C. Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B. Отсюда получаем:

Радиус вневписанной окружности

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC. Теорема 2 доказана.

      Теорема 3. Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b, вычисляется по формуле

Радиус вневписанной окружности

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC, а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC.

      Доказательство. Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Радиус вневписанной окружности

      Следовательно, справедливо равенство

Радиус вневписанной окружности

что и требовалось доказать.

      Следствие. Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC  окружностей вычисляются по формулам:

Радиус вневписанной окружности

      Теорема 4. Если обозначить буквой r  радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Радиус вневписанной окружности

      Доказательство. Поскольку

Радиус вневписанной окружности

то

Радиус вневписанной окружности

      Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

Формулы для радиуса  окружности вписанной в треугольник,

получим

Радиус вневписанной окружности

что и требовалось доказать.

      Теорема 5. Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Радиус вневписанной окружности

      Доказательство. Перемножим формулы

Радиус вневписанной окружности

и воспользуемся формулой Герона:

Радиус вневписанной окружности

что и требовалось доказать.

      Теорема 6. Если обозначить буквой R  радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

ra + rb + rcr = 4R .

      Доказательство. Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Радиус вневписанной окружности

      Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Радиус вневписанной окружности

      В результате получаем равенство

Радиус вневписанной окружности

      Поскольку радиус описанной окружности удовлетворяет равенству

Формула для радиуса описанной окружности

то справедлива формула

ra + rb + rcr = 4R ,

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательства подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательства индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


      Яндекс цитирования