Mосква, Северо-восток

Вневписанные окружности

      Теорема 1. В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.1

      Проведём биссектрисы углов DAC и ECA, которые являются внешними углами треугольника ABC. Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O. Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC, который является внутренним углом треугольника ABC, не смежным с внешними углами DAC и ECA. С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF, OG и OH на прямые AB, AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC, то справедливо равенство:

OF = OG,

      Поскольку CO – биссектриса угла ACE, то справедливо равенство:

OF = OG,

      Следовательно, справедливо равенство

OG = OH,

откуда вытекает, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC, что и требовалось доказать.

      Замечание 1. В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

OF = OG = OH,

откуда вытекает, что точки F,G и H лежат на одной окружности с центром в точке O.

      Определение. Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник, или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.2

      Замечание 2. У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

      Замечание 3. Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B, а окружность касается стороны b. Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b, и обозначать её радиус символом   rb .

      Теорема 2. Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC. Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

      Доказательство. Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

Радиус вневписанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника ABC. Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A. Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C. Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B. Отсюда получаем:

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC. Теорема 2 доказана.

      Теорема 3. Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны b, вычисляется по формуле

Радиус вневписанной окружности

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC, а буквой p обозначен полупериметр треугольникаABC.

      Доказательство. Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

      Следовательно, справедливо равенство

Радиус вневписанной окружности

что и требовалось доказать.

      Следствие. Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Радиус вневписанной окружности

      Теорема 4. Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Радиус вневписанной окружности

      Доказательство. Поскольку

Радиус вневписанной окружности

то

Радиус вневписанной окружности

      Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

Формулы для радиуса  окружности вписанной в треугольник,

получим

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

что и требовалось доказать.

      Теорема 5. Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Радиус вневписанной окружности

      Доказательство. Перемножим формулы

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

и воспользуемся формулой Герона:

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

что и требовалось доказать.

      Теорема 6. Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

ra + rb + rc – r = 4R .

      Доказательство. Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

      Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

      В результате получаем равенство

Радиус вневписанной окружности

      Поскольку радиус описанной окружности удовлетворяет равенству

Формула для радиуса описанной окружности

то справедлива формула

ra + rb + rc – r = 4R ,

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательстваподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Вневписанные окружности центр радиус свойства доказательстваиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ

Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования