Mосква, Северо-восток

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Расстояние между скрещивающимися прямыми

      Теорема. Пусть p1 и p2 – две произвольные скрещивающиеся прямые скрещивающиеся прямые. Если рассмотреть всевозможные прямые A1A2, такие, что точка A1 лежит на прямой p1, а точка A2 лежит на прямой p2, то будут выполнены следующие два утверждения:

  1. Среди всех прямых A1A2 существует единственная прямая, перпендикулярная к прямой p1 и к прямой p2 (общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым).
  2. Среди всех отрезков A1A2 наименьшую длину имеет отрезок общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

      Доказательство. Докажем сначала существование общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

      Через произвольную точку прямой p1 проведем прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, параллельную прямой параллельную прямой p2 , а через произвольную точку прямой p2 проведем прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, параллельную прямой параллельную прямой p1 . Обозначим буквой   α   плоскость, проходящую через прямые p1 и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, а буквой   β   плоскость, проходящую через прямые p2 и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми(рис 1).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.1

      Поскольку прямая p1 параллельна прямой Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, лежащей на плоскости   β ,  то по признаку параллельности прямой и плоскости прямая p1 параллельна плоскости   β.   Точно так же, поскольку прямая Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми параллельна прямой p2 , лежащей на плоскости   β ,   то прямая Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми по признаку параллельности прямой и плоскости параллельна плоскости   β.   Таким образом, плоскость   α   содержит две пересекающиеся прямые p1 и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, паралельные плоскости   β.   В силу признака параллельности плоскостей заключаем, что плоскости   α   и   β   параллельны.

      Спроектируем прямую p1 на плоскость   β.  Получим прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, являющуюся проекцией прямой проекцией прямой p1, и обозначим точку пересечения прямых p2 и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми буквой B2 (рис. 2).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.2

      Спроектируем теперь прямую p2 на плоскость   α .   Получим прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, являющуюся проекцией прямой проекцией прямой p2 , и обозначим точку пересечения прямых p1 и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми буквой B1 (рис. 3).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.3

      Поскольку точка B2 является проекцией точки B1 , то прямая B1B2 перпендикулярна каждой из плоскостей α и β . Следовательно, прямая B1B2 перпендикулярна и к каждой из прямых   p1 и p2 .Таким образом, B1B2 – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым   p1 и p2 .

      Доказательство существования общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено.

      Докажем, что построенная прямая B1B2 является единственным общим перпендикуляром к прямым  p1 и p2 .

      Заметим, что любая прямая, перпендикулярная к   p1 и к p2 , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости будет перпендикулярна к построенным выше плоскостям α и β (рис. 3). Кроме того, общий перпендикуляр к прямым   p1 и p2 должен проходить через точку, лежащую на прямой   p1 , а значит, этот перпендикуляр должен лежать в плоскости γ, перпендикулярной к плоскостям α и β перпендикуляр должен лежать в плоскости γ, перпендикулярной к плоскостям α и β, и проходящей через прямую   p1 .

      С другой стороны общий перпендикуляр к прямым   p1 и p2 должен проходить через точку, лежащую на прямой   p2 , а значит, этот перпендикуляр должен лежать в плоскости δ, перпендикулярной к плоскостям α и β перпендикуляр должен лежать в плоскости δ, перпендикулярной к плоскостям α и β, и проходящей через прямую   p2 .

      Таким образом, общий перпендикуляр к прямым   p1 и p2 является линией пересечения плоскостей γ и δ, то есть прямой B1B2 .

      Доказательство единственности общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено. Утверждение 1 доказано.

      Перейдем к доказательству утверждения 2. Для этого рассмотрим произвольный отрезок A1A2 , у которого конец A1 лежит на плоскости α , а конец A2 лежит на плоскости β . Опустим перпендикуляр из точки A1 на плоскость β и обозначим основание этого перпендикуляра символом A3 (рис. 4).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.4

      Если отрезок A1A2 не является перпендикуляром к плоскостям α и β, то точка A3 не совпадет с точкой A2, и треугольник A1A2A3 будет прямоугольным треугольником с гипотенузой A1A2 и катетом A1A3. Поскольку в прямоугольном треугольнике длина катета меньше длины гипотенузы, то

A1A3< A1A2 .

      Поскольку длина отрезка A1A3 , как и длина отрезка B1B2 , равна расстоянию между параллельными плоскостями α и β , то утверждение 2 доказано.

      Замечание. Длину отрезка B1B2, лежащего на общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым, и называют расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямымиподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямымииндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования