Справочник по математикеОбщий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямымиГеометрия (Стереометрия)Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми Прямые и плоскости в пространстве

 

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Расстояние между скрещивающимися прямыми

ТЕОРЕМА. Пусть   p1   и   p2   – две произвольные скрещивающиеся прямые. Если рассмотреть всевозможные прямые   A1A2,   такие, что точка   A1   лежит на прямой   p1,   а точка   A2   лежит на прямой   p2,   то будут выполнены следующие два утверждения:

  1. Среди всех прямых   A1A2   существует единственная прямая, перпендикулярная к прямой   p1   и к прямой   p2   (общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым).
  2. Среди всех отрезков   A1A2   наименьшую длину имеет отрезок общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала существование общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

Через произвольную точку прямой   p1   проведем прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, параллельную прямой   p2 ,   а через произвольную точку прямой   p2   проведем прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, параллельную прямой   p1 .   Обозначим буквой   α   плоскость, проходящую через прямые   p1   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, а буквой   β   плоскость, проходящую через прямые   p2   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми(рис 1).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.1

Поскольку прямая   p1   параллельна прямой Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, лежащей на плоскости   β ,   то по признаку параллельности прямой и плоскости прямая   p1   параллельна плоскости   β.   Точно так же, поскольку прямая Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми параллельна прямой   p2 ,   лежащей на плоскости   β ,   то прямая Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми по признаку параллельности прямой и плоскости параллельна плоскости   β.   Таким образом, плоскость   α   содержит две пересекающиеся прямые   p1   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, параллельные плоскости   β.   В силу признака параллельности плоскостей заключаем, что плоскости   α   и   β   параллельны.

Спроектируем прямую p1 на плоскость   β.   Получим прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, являющуюся проекцией прямой   p1,   и обозначим точку пересечения прямых   p2   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми буквой   B2   (рис. 2).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.2

Спроектируем теперь прямую   p2   на плоскость   α .   Получим прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, являющуюся проекцией прямой   p2 ,   и обозначим точку пересечения прямых   p1   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми буквой   B1   (рис. 3).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.3

Поскольку точка   B2   является проекцией точки   B1 ,   то прямая   B1B2   перпендикулярна каждой из плоскостей   α   и   β .   Следовательно, прямая   B1B2   перпендикулярна и к каждой из прямых   p1   и   p2 .   Таким образом,   B1B2   – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым   p1   и   p2 .

Доказательство существования общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено.

Докажем, что построенная прямая   B1B2   является единственным общим перпендикуляром к прямым   p1   и   p2 .

Заметим, что любая прямая, перпендикулярная к   p1   и к   p2 ,   по признаку перпендикулярности прямой и плоскости будет перпендикулярна к построенным выше плоскостям   α   и   β   (рис. 3). Кроме того, общий перпендикуляр к прямым   p1   и   p2   должен проходить через точку, лежащую на прямой   p1 ,   а значит, этот перпендикуляр должен лежать в плоскости   γ,   перпендикулярной к плоскостям   α   и   β,   и проходящей через прямую   p1 .

С другой стороны общий перпендикуляр к прямым   p1   и   p2   должен проходить через точку, лежащую на прямой   p2 ,   а значит, этот перпендикуляр должен лежать в плоскости   δ,   перпендикулярной к плоскостям   α   и   β,   и проходящей через прямую   p2 .

Таким образом, общий перпендикуляр к прямым   p1   и   p2   является линией пересечения плоскостей   γ   и   δ,   то есть прямой   B1B2 .

Доказательство единственности общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено. Утверждение 1 доказано.

Перейдем к доказательству утверждения 2. Для этого рассмотрим произвольный отрезок   A1A2 , у которого конец   A1   лежит на плоскости   α , а конец   A2   лежит на плоскости   β . Опустим перпендикуляр из точки   A1   на плоскость   β   и обозначим основание этого перпендикуляра символом   A3   (рис. 4).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.4

      Если отрезок   A1A2   не является перпендикуляром к плоскостям   α   и   β,   то точка   A3   не совпадет с точкой   A2,   и треугольник   A1A2A3   будет прямоугольным треугольником с гипотенузой   A1A2   и катетом   A1A3.   Поскольку в прямоугольном треугольнике длина катета меньше длины гипотенузы, то

A1A3 < A1A2 .

Поскольку длина отрезка   A1A3 , как и длина отрезка   B1B2 ,   равна расстоянию между параллельными плоскостями α и β , то утверждение 2 доказано.

ЗАМЕЧАНИЕ. Длину отрезка   B1B2,   лежащего на общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым, и называют расстоянием между скрещивающимися прямыми.

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика