e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника площадь проекции многоугольникаЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника площадь проекции многоугольникаТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника площадь проекции многоугольника ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника площадь проекции многоугольникаГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника площадь проекции многоугольника ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника площадь проекции многоугольника Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника площадь проекции многоугольникаЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника площадь проекции многоугольникаПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника площадь проекции многоугольникаЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru

НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника многоугольника Геометрия (Стереометрия)

Длина ортогональной проекции отрезка.
Площадь ортогональной проекции многоугольника

Длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника многоугольника Длина проекции отрезка.
Длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника многоугольника Площадь проекции треугольника.
Длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника многоугольника Площадь проекции многоугольника.

Длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника многоугольника

Длина ортогональной проекции отрезка

      Рассмотрим сначала двугранный угол φ , образованный полуплоскостями α и β , пересекающимися по прямой AB , и отрезок CD , лежащий в полуплоскости β и перпендикулярный прямой AB (рис. 1).

Длина ортогональной проекции отрезка

Рис.1

      На этом рисунке символом D' обозначена ортогональная проекция точки D на плоскость α . Отрезок CD' является проекцией отрезка CD на плоскость α .

      Из треугольника CDD' можно найти длину стороны CD', если известна длина отрезка CD и угол φ:

Длина ортогональной проекции отрезка (1)

      Теперь рассмотрим тот же двугранный угол, но отрезок CD расположим на полуплоскости β так, что прямая CD параллельна ребру двугранного угла AB (рис. 2).

Длина ортогональной проекции отрезка

Рис.2

     На рисунке 2 символами C' и D' обозначены проекции точек C и D на плоскость α .

     Отрезок C'D' является проекцией отрезка CD на плоскость α . Поскольку CDD'C' прямоугольник, то длина стороны CD равна длине стороны C'D' , то есть

CD = C'D' . (2)

      Теперь рассмотрим наиболее сложный случай, когда отрезок CD длины a расположен на полуплоскости   β  так, что вершина C лежит на прямой AB, а угол Длина ортогональной проекции отрезка(рис. 3).

Длина ортогональной проекции отрезка

Рис.3

      Обозначим буквой E основание перпендикуляра, опущенного в плоскости β из точки D на прямую AB . Обозначим через D' проекцию точки D на плоскость α . Тогда из прямоугольных треугольников CDE и DED' получаем следующие равенства:

DE = a sin γ,
CE = a cos γ,
ED' = DE cos φ = a sin γ cos φ ,
Длина ортогональной проекции отрезка

      Итак, длина проекции отрезка CD равна

Длина ортогональной проекции отрезка (3)

      Замечание 1. Мы оставляем читателю в качестве полезного упражнения возможность найти длину проекции отрезка CD в случае, когда его концы не лежат на ребре AB двугранного угла.

      Замечание 2. При γ = 90° отрезок CD перпендикулярен ребру AB двугранного угла, и формула (3) приобретает вид (1). При γ = 0° отрезок CD параллелен ребру AB двугранного угла, и формула (3) приобретает вид (2).

Площадь проекции треугольника

      Рассмотрим треугольник CDE, расположенный в полуплоскости β так, что сторона CE лежит на ребре AB двугранного угла (рис. 4).

Площадь проекции треугольника

Рис.4

      Буквой F обозначено основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AB . Символом D' обозначена проекция точки D на плоскость α .

     Треугольник CD'E является проекцией треугольника CDE на плоскость α . Площадь треугольника CDE находится по формуле:

Площадь проекции треугольника

      Площадь треугольника CD'E находится по формуле:

Площадь проекции треугольника

      В силу формулы (1)

Площадь проекции треугольника

      Следовательно,

Площадь проекции треугольника (4)

      Теперь рассмотрим треугольник CDE, расположенный в полуплоскости β так, что на ребре AB двугранного угла лежит только вершина C (рис. 5).

Площадь проекции треугольника

Рис.5

      Буквой G обозначим точку пересечения прямой DE с прямой AB. Точки D' и E' проекции точек D и E на плоскость α . Треугольник CD'E' является проекцией треугольника CDE , а треугольник CE'G проекцией треугольника CEG . Воспользовавшись формулой (4), получаем

Площадь проекции треугольника

      Таким образом, справедлива формула

Площадь проекции треугольника (5)

      Замечание 3. Формулу (5) мы получили в предположении о том, что точка C лежит на ребре AB двугранного угла. Небольшое дополнение к приведенному локазательству позволяет отказаться от этого ограничения. Мы оставляем локазательство этого факта читателю в качестве полезного и несложного упражнения.  

Площадь проекции многоугольника

      Рассмотрим произвольный выпуклый n – угольник, расположенный в полуплоскости β, и проведем все диагонали многоугольника из вершины A1 (рис. 6).

Площадь проекции многоугольника

Рис.6

      В результате многоугольник разбивается на треугольники A1A2A3, A1A3A4, ... , A1An-1An. Если обозначить через A'1, A'2, ... , A'n проекции точек  A1, A2, ... , An на плоскость α , то, применяя к каждому из треугольников A1A2A3, A1A3A4, ... , A1An-1An формулу (5), получаем формулу для площади проекции многоугольника

Площадь проекции многоугольника (6)

      Таким образом, площадь проекции многоугольника, лежащего в плоскости β, на плоскость α равна площади этого мноугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника площадь проекции многоугольника подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника площадь проекции многоугольника индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования