Mосква, Северо-восток

Цилиндры

Цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность цилиндраОсновные определения и свойства цилиндра
осевое сечение цилиндра перпендикулярное сечение цилиндраСечения цилиндра
объем цилиндра площадь боковой поверхности цилиндра площадь полной поверхности цилиндраОбъем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра
Цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра осевое сечение цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность объем цилиндра площадь боковой поверхности цилиндра площадь полной поверхности цилиндра

Основные определения и свойства цилиндра

      Рассмотрим две паралллельные плоскости паралллельные плоскости   α   и   β   и произвольную окружность радиуса   r   с центром в точке   O ,   лежащую в плоскости   α   (рис. 1).

Цилиндр образующая цилиндра ось основание высота боковая поверхность полная поверхность цилиндра
Цилиндр образующая цилиндра ось основание высота боковая поверхность полная поверхность цилиндра

Рис.1

      Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость   β,   то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости   β   окружность радиуса   r,   центр   O1   которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   O   на плоскость   β   (рис.2).

Цилиндр образующая цилиндра ось основание высота боковая поверхность полная поверхность цилиндра
Цилиндр образующая цилиндра ось основание высота боковая поверхность полная поверхность цилиндра

Рис.2

      Определение 1.

Цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра осевое сечение цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность

Отрезок перпендикуляра, опущенного из любой точки окружности с центром   O   на плоскость  β ,   который заключен между плоскостями   α   и   β ,   называют образующей цилиндра.

Цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра осевое сечение цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность

Совокупность всех образующих цилиндра называют цилиндрической поверхностью.

Цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра осевое сечение цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность

Фигуру, ограниченную цилиндрической поверхностью и плоскостями   α   и   β,   называют цилиндром.

Цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра осевое сечение цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность

Отрезок   OO1   называют осью цилиндра .

Цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра осевое сечение цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность

Радиус окружности Радиус окружности на плоскости   α   с центром в точке   O   называют радиусом цилиндра.

Цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра осевое сечение цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность

Расстояние между плоскостями   α   и   β ,   называют высотой цилиндра.

Цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра осевое сечение цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность

Круги с центрами   O   и   O1   на плоскостях   α   и   β ,   называют основаниями цилиндра.

      Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра. Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра.

      Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.

     Замечание 3. Прямая   OO1   является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка   OO1   является центром симметрии цилиндра.

Сечения цилиндра

      Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью.
      Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).

осевое сечение цилиндра

Рис.3

      На рисунке 3 изображено одно из осевых сечений цилиндра – прямоугольник   AA1B1B .

     Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра с радиусом  r и высотой   h   является прямоугольником со сторонами   2r   и   h .

      Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).

перпендикулярное сечение цилиндра

Рис.4

      Замечание 5. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса   r .

      Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».

Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра

      Для цилиндра с радиусом   r   и высотой   h   (рис. 5)

объем цилиндра площадь боковой поверхности цилиндра площадь полной поверхности цилиндра

Рис.5

введем следующие обозначения

Vобъем цилиндра
Sбокплощадь боковой поверхности цилиндра
Sполнплощадь полной поверхности цилиндра
Sоснплощадь основания цилиндра

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности цилиндра:

Sосн = πr2,

V = Sосн h = πr2h,

Sбок= 2πrh,

Sполн = 2πr2 + 2πrh = 2π(r + h).

      Замечание 7. Формула объема цилиндра   V = πr2h   может быть получена из формулы объема правильной n – угольной призмы

формула объема правильной n-угольной призмы

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной призмы n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

    nbsp; На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра осевое сечение цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность объем цилиндра площадь боковой поверхности цилиндра площадь полной поверхности цилиндра подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Цилиндр образующая цилиндра ось цилиндра осевое сечение цилиндра основание высота боковая поверхность полная поверхность объем цилиндра площадь боковой поверхности цилиндра площадь полной поверхности цилиндраиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования