Mосква, Северо-восток

Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность теорема ЭйлераПирамиды. Теорема Эйлера для пирамид
правильная пирамида апофема свойства правильной пирамидыПравильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды
тетраэдр правильный тетраэдрТетраэдры. Правильные тетраэдры
объем площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности пирамиды объем площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности правильной пирамидыФормулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды
пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основание пирамиды боковые грани пирамиды правильная пирамида апофема тетраэдр основание высота боковая поверхность площадь боковой поверхности полная поверхность площадь полной поверхности объем пирамиды теорема Эйлера

Пирамиды

      Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник   A1A2 ... An , расположенный в этой плоскости, и точку   S ,   не лежащую в плоскости α .

     Определение 1. Пирамидой (n - угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку  S   со всеми точками многоугольника   A1A2 ... An (рис. 1) .

     Замечание 1. Напомним, что многоугольник   A1A2 ... An   состоит из замкнутой ломаной линии   A1A2 ... An   и ограниченной ею части плоскости.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность
пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность

Рис.1

      Определение 2.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Точку S называют вершиной пирамиды.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Многоугольник   A1A2 ... An   называют основанием пирамиды.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Точки   A1, A2, ... , An   называют вершинами основания пирамиды.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Точки   A1 , A2 , ... , An , S   часто называют просто вершинами пирамиды.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Расстояние от точки   S   до плоскости α называют высотой пирамиды.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Отрезки   SA1 , SA2 , ... , SAn   называют боковыми ребрами пирамиды.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Стороны многоугольника   A1A2 ... An   называют ребрами основания пирамиды.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Треугольники   SA1A2 , SA2A3 , ... ,   SAnA1   называют боковыми гранями пирамиды.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды.

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основания пирамиды боковые грани пирамиды основание высота боковая поверхность полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности.

      Теорема Эйлера. Для любой пирамиды справедливо равенство:

число вершин
+
число граней
число ребер
=2
число
вершин
+
число
граней
число
ребер
=2

      Доказательство. Заметим, что у n - угольной пирамиды   (n + 1)   вершина,   n   боковых граней,   1   основание,   n   ребер основания и   n   боковых ребер. Следовательно, у n - угольной пирамиды   (n + 1)   грань и   2n   ребер.

      Поскольку

(n + 1) + (n + 1) – 2n = 2

то теорема Эйлера доказана.

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

     Определение 3. Правильной n - угольной пирамидой (правильной пирамидой)  называют такую n - угольную пирамиду, у которой основанием является правильный n - угольник   A1A2 ... An , а основанием перпендикуляра, опущенного из точки   S   на плоскость   α , является центр правильного n - угольника   A1A2 ... An   (рис 2).

правильная пирамида
правильная пирамида

Рис.2

      Замечание 2. Если центр основания   A1A2 ... An   правильной пирамиды   SA1A2 ... An   обозначить буквой   O ,  то длина отрезка   SO  будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок   SO  называют высотой пирамиды, опущенной из вершины   S .

      Определение 4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины   S , называют апофемой.

правильная пирамида апофема
правильная пирамида апофема

Рис.3

      На рисунке 3 отрезок   SB апофема грани   SAnAn-1 и отрезок   SCапофема грани    SA2A1.

     Замечание 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести n апофем.

     Свойства правильной пирамиды:

правильная пирамида правильная пирамида апофема свойства правильной пирамиды

Все боковые ребра правильной пирамиды равны.

правильная пирамида апофема правильная пирамида апофема свойства правильной пирамиды

Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

правильная пирамида апофема правильная пирамида апофема свойства правильной пирамиды

У любой правильной пирамиды все апофемы равны.

правильная пирамида апофема правильная пирамида апофема свойства правильной пирамиды

Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы.

правильная пирамида апофема правильная пирамида апофема свойства правильной пирамиды

Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные двугранные углы.

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

      Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

     Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

     Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду   SABC и пару ее противоположных ребер, например,   AC   и   BS. Обозначим буквой   D середину ребра   AC. Поскольку отрезки   BD и   SD являются медианами в равнобедренных треугольниках   ABC   и ASC, то   BD и   SD перпендикулярны ребру   AC (рис. 4).

правильный тетраэдр

Рис.4

      По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая   AC   перпендикулярна плоскости   BSD.  Следовательно, прямая   AC   перпендикулярна прямой   BS, что и требовалось доказать.

      Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

правильный тетраэдр

Рис.5

     Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром  a .

      Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр   SABC. Пусть точка   O основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость   ABC.   Поскольку   SABCправильная пирамида, то точка   O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника   ABC.  Следовательно,

правильный тетраэдр,

где буквой D обозначена середина ребра   AC (рис. 6).

правильный тетраэдр

Рис.6

      Так как

правильный тетраэдр,

то

правильный тетраэдр.

      По теореме Пифагора из треугольника   BSO  находим

правильный тетраэдр.

      Ответ.правильный тетраэдр

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды

     Введем следующие обозначения

Vобъем пирамиды
Sбокплощадь боковой поверхности пирамиды
Sполнплощадь полной поверхности пирамиды
Sоснплощадь основания пирамиды
Pоснпериметр основания пирамиды

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды:

Произвольная пирамида

объем пирамиды

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

объем пирамиды,

где  hвысота пирамиды.

Правильная n – угольная пирамида

объем правильной пирамиды  площадь боковой поверхности правильной пирамиды площадь полной поверхности правильной пирамиды

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

формула площади правильного n-угольника

(см. раздел «правильные многоугольники»),

объем правильной пирамиды

площадь боковой поверхности правильной пирамиды

площадь полной поверхности правильной пирамиды

где
hвысота правильной пирамиды,
a – длина ребра основания правильной пирамиды,
l – длина апофемы правильной пирамиды.

Правильный тетраэдр

объем правильной пирамиды площадь боковой поверхности правильной пирамиды площадь полной поверхности правильной пирамиды

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

формула площади правильного n-угольника

(см. раздел «правильные многоугольники»),

высота правильного тетраэдра равна

высота правильного тетраэдра

объем правильного тетраэдра

площадь полной поверхности правильного тетраэдра

где
a – длина ребра правильного тетраэдра

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основание пирамиды боковые грани пирамиды правильная пирамида апофема тетраэдр основание высота боковая поверхность площадь боковой поверхности полная поверхность площадь полной поверхности объем пирамиды теорема Эйлераподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

пирамида вершина пирамиды боковые ребра пирамиды ребра основание пирамиды боковые грани пирамиды правильная пирамида апофема тетраэдр основание высота боковая поверхность площадь боковой поверхности полная поверхность площадь полной поверхности объем пирамиды теорема Эйлераиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования