e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки школьников к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"




конус образующая конуса высота конуса основание конуса объем конуса конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса образующая усеченного конуса объем усеченного конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности усеченного конуса ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
конус образующая конуса высота конуса основание конуса объем конуса конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса образующая усеченного конуса объем усеченного конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности усеченного конусаТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
конус образующая конуса высота конуса основание конуса объем конуса конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса образующая усеченного конуса объем усеченного конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности усеченного конуса ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
конус образующая конуса высота конуса основание конуса объем конуса конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса образующая усеченного конуса объем усеченного конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности усеченного конусаГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
конус образующая конуса высота конуса основание конуса объем конуса конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса образующая усеченного конуса объем усеченного конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности усеченного конуса ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru


НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике конус образующая конуса высота конуса основание конуса объем конуса конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса образующая усеченного конуса объем усеченного конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности усеченного конуса Геометрия (Стереометрия)

Конусы. Усеченные конусы. Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

конус образующая конуса усеченный конус основание высота боковая поверхность полная поверхность конуса Конусы
конус образующая конуса усеченный конус основание высота боковая поверхность полная поверхность конуса Усеченные конусы
Объем конуса площадь боковой поверхности конуса площадь полной поверхности конуса объем усеченного конуса площпдь боковой поверхности усеченного конуса площадь полной поверхностей усеченного конуса Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

конус образующая конуса усеченный конус основание высота боковая поверхность полная поверхность конуса

Конусы

     Рассмотрим произвольную плоскость α, точку   S,   не лежащую на плоскости α, и перпендикуляр   SO,  опущенный из точки   S  на плоскость α (точка   O основание перпендикуляра). Рассмотрим также произвольный круг с центром в точке   O, лежащий на плоскости   α.

      Определение 1. Конусом называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точку   S  с точками указанного круга с центром в точке   O, лежащего на плоскости   α (рис. 1).

конус

Рис.1

     Определение 2.

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Точку S называют вершиной конуса.

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Отрезок SO  называют осью конуса.

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Расстояние от точки S до плоскости α (длину отрезка SO ) называют высотой конуса.

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Круг с центром в точке   O, лежащий на плоскости  α, называют основанием конуса, радиус этого круга называют радиусом основания конуса, а саму плоскость  α  называют плоскостью основания конуса.

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Отрезки, соединяющие точку S с точками окружности называют образующими конуса.

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность).

конус образующая конуса основание высота боковая поверхность полная поверхность

Полная поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности.

      Замечание 1. Отрезок SO часто называют высотой конуса.

      Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. У конуса с высотой h и радиусом основания r длина образующих равна

конус образующая конуса радиус основания высота

Усеченные конусы

      Рассмотрим конус с вершиной S, осью SO,  радиусом основания r и высотой h.   Плоскость β, параллельная плоскости основания конуса и расположенная на расстоянии h1 от вершины S, пересекает конус по кругу радиуса r1 с центром в точке O1 (рис. 2).

усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса боковая поверхность усеченного конуса полная поверхность усеченного конуса

Рис.2

      Из подобия прямоугольных треугольников   SOA   и   SO1A1   можно выразить радиус r1 через известные величины r, h и h1:

усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса боковая поверхность усеченного конуса полная поверхность усеченного конуса

      Таким образом, плоскость β делит конус на две части: конус с осью   SO1  и радиусом основания   r1, а также вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).

усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса боковая поверхность усеченного конуса полная поверхность усеченного конуса

Рис.3

      Усеченный конус ограничен двумя основаниями: кругом с центром в точке O радиуса r на плоскости α и кругом с центром в точке O1 радиуса   r1 на плоскости β, а также боковой поверхностью усеченного конуса, которая представляет собой часть боковой поверхности исходного конуса, заключенную между плоскостями α и β. Полная поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, которая заключена между плоскостями α и β, называют образующей усеченного конуса. Например, на рисунке 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок  AA1

     Высотой усеченного конуса называют расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. У усеченного конуса, изображенного на рисунке 2, высота равна h – h1.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

     Введем следующие обозначения

V

объем конуса (объем усеченного конуса)

Sбок

площадь боковой поверхности конуса
(площадь боковой поверхности усеченного конуса)

Sполн

площадь полной поверхности конуса
(площадь полной поверхности усеченного конуса)

S осн

площадь основания конуса

Sверх.осн

площадь верхнего основания усеченного конуса

Sнижн.осн

площадь нижнего основания усеченного конуса

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности конуса, а также формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.

Фигура

Рисунок

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности

Конус

Объем конуса площадь боковой поверхности конуса площадь полной поверхности конуса

Sосн = πr2,

Объем конуса площадь боковой поверхности конуса площадь полной поверхности конуса

Sбок= πrl,

Sполн = πr2 + πrl,

где
  r  – радиус основания конуса,
  l  – длина образующей конуса,
  h  – высота конуса.

Усеченный конус

Объем усеченного конуса площадь боковой поверхности усеченного конуса площадь полной поверхности усеченного конуса

площадь оснований усеченного конуса

объем усеченного конуса

объем усеченного конуса

Sбок= π (r + r1)l,

площадь полной поверхности усеченного конуса

площадь полной поверхности усеченного конуса

где 
  h  – высота усеченного конуса,
  r  – радиус нижнего основания усеченного конуса,
 r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса,

  l  – длина образующей усеченного конуса.

      Замечание 3. Формула для вычисления объема конуса

Объем конуса площадь боковой поверхности конуса площадь полной поверхности конуса

может быть получена из формулы объема правильной n – угольной пирамиды

объем правильной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      Замечание 4. Формула для вычисления объема усеченного конуса

объем усеченного конуса

может быть получена из формулы объема правильной усеченной n – угольной пирамиды

объем усеченной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

конус образующая конуса высота конуса основание конуса объем конуса конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса образующая усеченного конуса объем усеченного конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности усеченного конуса подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

конус образующая конуса высота конуса основание конуса объем конуса конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса усеченный конус основания усеченного конуса высота усеченного конуса образующая усеченного конуса объем усеченного конуса площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности усеченного конуса индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования