e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки школьников к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"



усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамиды ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамидыТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамиды ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамидыГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамиды ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамиды Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамидыЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамидыПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамидыЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамидыЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамиды ЕГЭ супертренинг. Математика. Тематические тренировочные задания. Уровень В, С. - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамиды Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задание C3. Решение неравенств с одной переменной - Прокофьев А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамиды Геометрия (Стереометрия)

Усеченные пирамиды. Теорема Эйлера.
Формулы для объема, площади боковой поверхности и
площади полной поверхности усеченной пирамиды

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера Усеченные пирамиды. Теорема Эйлера для усеченных пирамид
правильная усеченная пирамида апофема Правильные усеченные пирамиды
площадь боковой поверхности усеченной пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды объем усеченной пирамиды Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченной пирамиды

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамиды

Усеченные пирамиды

      Плоскость, параллельная основанию пирамиды   SA1A2 ... An и пересекающая все боковые ребра пирамиды в точках  A'1, A'2, ... , A'n , делит пирамиду   SA1A2 ... An на две части: пирамиду   SA'1A'2 ... A'n и усеченную пирамиду  A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n (рис. 1).

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды

Рис.1

      Определение 1 .

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Многоугольник     A1A2 ... An   называют нижним основанием усеченной пирамиды (рис. 2).

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Многоугольник     A'1A'2 ... A'n   называют верхним основанием усеченной пирамиды (рис. 2).

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Расстояние между плоскостями оснований усеченной пирамиды называют высотой усеченной пирамиды.

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Точки  A1, A2, ... , AnA'1, A'2, ... , A'n называют вершинами оснований усеченной пирамиды.

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Отрезки  A1A'1, A2A'2, ... , AnA'n называют боковыми ребрами усеченной пирамиды.

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Стороны многоугольников     A1A2 ... An,     A'1A'2 ... A'n    называют ребрами оснований усеченной пирамиды.

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Трапеции    A1A'1A'2A2,   A2A'2A'3A3,   ... ,   AnA'nA'1A1  называют боковыми гранями усеченной пирамиды. 

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Множество всех боковых граней усеченной пирамиды составляет боковую поверхность усеченной пирамиды.  

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Полная поверхность усеченной пирамиды состоит из оснований усеченной пирамиды и ее боковой поверхности.

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Рис.2

      Теорема Эйлера. Для любой усеченной пирамиды справедливо равенство:

число вершин
+
число граней
число ребер
= 2

      Доказательство. Заметим, что у n - угольной усеченной пирамиды   2n вершин, n боковых граней, 2 основания,  2n ребер оснований и n боковых ребер. Следовательно, у n - угольной усеченной пирамиды  (n + 2) грани и 3n ребер.

     Поскольку

2n + (n + 2)3n = 2

то теорема Эйлера доказана.

Правильные усеченные пирамиды

      Плоскость, параллельная основанию правильной пирамиды   SA1A2 ... An и пересекающая все боковые ребра пирамиды в точках  A'1, A'2, ... , A'n , делит пирамиду   SA1A2 ... An на две части: правильную пирамиду   SA'1A'2 ... A'n и правильную усеченную пирамиду  A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n (рис. 3).

правильная усеченнвя пирамида апофема

Рис.3

      Определение 2. Высоту боковой грани правильной усеченной пирамиды называют апофемой правильной усеченной пирамиды (рис 4).

правильная усеченнвя пирамида апофема

Рис.4

      На рис. 4 отрезок B'B апофема грани  A1A'1A'nAn и отрезок   C'C апофема грани AnA'n A'n-1An-1 

          Свойства правильной усеченной пирамиды:

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобедренными трапециями.

правильная усеченнвя пирамида апофема

У любой правильной усеченной пирамиды все апофемы равны.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью нижнего основания усеченной пирамиды равные углы.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью верхнего основания усеченной пирамиды равные углы.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью нижнего основания усеченной пирамиды равные двугранные углы.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью верхнего основания усеченной пирамиды равные двугранные углы.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Отрезок, соединяющий центры верхнего и нижнего оснований правильной усеченной пирамиды, перпендикулярен плоскостям оснований правильной усеченной пирамиды. Длина этого отрезка равна высоте правильной усеченной пирамиды.

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности усеченной пирамиды

     Введем следующие обозначения

V

объем усеченной пирамиды

Sбок

площадь боковой поверхности усеченной пирамиды

Sполн

площадь полной поверхности усеченной пирамиды

Sверх.осн

площадь верхнего основания усеченной пирамиды

Sнижн.осн

площадь нижнего основания усеченной пирамиды

Pверх.осн

периметр верхнего основания усеченной пирамиды

Pнижн.осн

периметр нижнего основания усеченной пирамиды

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченной пирамиды:

Пирамида

Рисунок

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности

Произвольная усеченная пирамида

объем усеченной пирамиды

объем усеченной пирамиды,

где  h  – высота усеченной пирамиды.

Правильная
n – угольная усеченная пирамида

объем правильной усеченной пирамиды  площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды

формула площади правильного n-угольника

(см. раздел «правильные многоугольники»),

объем усеченной пирамиды

объем усеченной пирамиды

площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды

площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды

где 
  h  – высота правильной усеченной пирамиды,
  a  – длина ребра нижнего основания правильной пирамиды,
  a'  – длина ребра верхнего основания правильной пирамиды,
  l  – длина апофемы правильной усеченной пирамиды.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамиды подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамиды индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования