Mосква, Северо-восток

Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве

      Рассмотрим плоскость   α   и цилиндр с осью  OO1, радиусом   R   и высотой   h .   В данном разделе справочника описываются все возможные ситуации взаимного расположения плоскости и цилиндра в случаях, когда плоскость перпендикулярна оси цилиндра, параллельна оси цилиндра параллельна оси цилиндра или проходит через ось цилиндра. Все остальные случаи взаимного расположения плоскости и цилиндра выходят за рамки школьной программы и в нашем справочнике не рассматриваются.

      Сначала предположим, что плоскость   α   перпендикулярна к прямой  OO1 и пересекает отрезок   OO1 в точке  O2 . В этом случае сечением цилиндра является круг с центром в точке   O2 и радиусом   R   (рис. 1).

Взаимное расположение цилиндра и плоскости перпендикулярное сечение цилиндра
Взаимное расположение цилиндра и плоскости перпендикулярное сечение цилиндра
Взаимное расположение цилиндра и плоскости перпендикулярное сечение цилиндра

Рис.1

      Если плоскость  α   перпендикулярна к прямой   OO1,   но не пересекает отрезок   OO1 ,   то цилиндр и плоскость не имеют общих точек (рис. 2).

Взаимное расположение цилиндра и плоскости
Взаимное расположение цилиндра и плоскости
Взаимное расположение цилиндра и плоскости

Рис.2

      Теперь рассмотрим случай, когда плоскость   α   параллельна оси цилиндра параллельна оси цилиндра   OO1 или же проходит через ось   OO1 . Если обозначить буквой   l   расстояние между плоскостью   α   и прямой расстояние между плоскостью   α   и прямой   OO1 , то можно составить следующую таблицу взаимного расположения цилиндра и плоскости в пространстве в зависимости от величины расстояния   l .

Взаимное расположение фигурРисунокСвойства
Цилиндр и плоскость не имеют общих точек
(не пересекаются)
цилиндр и плоскость не пересекаются

      Если ось цилиндра параллельна плоскости, то цилиндр и плоскость не пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра больше радиуса цилиндра:

l > R

Цилиндр и плоскость касаются.

В этом случае общей частью плоскости и цилиндра является одна из образующих цилиндра
(на рисунке это   AA1)

сфера и плоскость касаются касательная плоскость

      Если цилиндр и плоскость касаются, то плоскость называют касательной плоскостью к цилиндру.

      Цилиндр и плоскость касаются тогда и только тогда, когда плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно радиусу цилиндра

l = R

      Цилиндр и плоскость касаются тогда и только тогда, когда плоскость проходит через образующую цилиндра и перпендикулярна к плоскости, проходящей через эту же образующую и ось цилиндра.

Плоскость пересекает цилиндрическую поверхность по двум образующим
(на рисунке это   AA1 и   BB1).
Плоскость не проходит через ось цилиндра.

сфера и плоскость пересекаются

      В этом случае

0 < l < R .

      Пересечением цилиндра и плоскости является прямоугольник со сторонами   AB   и   AA1 , причем

AA1 = h ,

пересечение цилиндра и плоскости

где
Rрадиус цилиндра,
hвысота цилиндра,
l расстояние между плоскостью и осью цилиндра расстояние между плоскостью и осью цилиндра.

Плоскость проходит через ось цилиндра.

осевое сечение цилиндра

      В этом случае

l = 0 .

      Пересечением цилиндра и плоскости является прямоугольник со сторонами   h  и  2R (осевое сечение цилиндра), где
R – радиус цилиндра,
hвысота цилиндра.

Цилиндр и плоскость не имеют общих точек (не пересекаются)
цилиндр и плоскость не пересекаются
цилиндр и плоскость не пересекаются

Свойства:

      Если ось цилиндра параллельна плоскости ось цилиндра параллельна плоскости, то цилиндр и плоскость не пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра больше радиуса цилиндра:

l > R

Цилиндр и плоскость касаются. В этом случае общей частью плоскости и цилиндра является одна из образующих цилиндра (на рисунке это   AA1)
сфера и плоскость касаются касательная плоскость
сфера и плоскость касаются касательная плоскость

Свойства:

      Если цилиндр и плоскость касаются, то плоскость называют касательной плоскостью к цилиндру.

      Цилиндр и плоскость касаются тогда и только тогда, когда плоскость параллельна оси цилиндра плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно радиусу цилиндра

l = R

      Цилиндр и плоскость касаются тогда и только тогда, когда плоскость проходит через образующую цилиндра и перпендикулярна к плоскости, проходящей через эту же образующую и ось цилиндра.

Плоскость пересекает цилиндрическую поверхность по двум образующим (на рисунке это   AA1 и   BB1). Плоскость не проходит через ось цилиндра
сфера и плоскость пересекаются
сфера и плоскость пересекаются

Свойства:

      В этом случае

0 < l < R .

      Пересечением цилиндра и плоскости является прямоугольник со сторонами   AB   и   AA1 , причем

AA1 = h ,

пересечение цилиндра и плоскости

где
Rрадиус цилиндра,
hвысота цилиндра,
l расстояние между плоскостью и осью цилиндра расстояние между плоскостью и осью цилиндра.

Плоскость проходит через ось цилиндра
осевое сечение цилиндра
осевое сечение цилиндра

Свойства:

     В этом случае

l = 0 .

      Пересечением цилиндра и плоскости является прямоугольник со сторонами   h   и   2R   (осевое сечение цилиндра), где
R – радиус цилиндра,
hвысота цилиндра.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве касательная плоскость осевое сечение цилиндраподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве касательная плоскость осевое сечение цилиндраиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика