e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"




цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндраЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндраТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндра ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндраГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндра ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндра Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндраЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндраПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндраЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндраЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндра ЕГЭ супертренинг. Математика. Тематические тренировочные задания. Уровень В, С. - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндра Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задание C3. Решение неравенств с одной переменной - Прокофьев А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru

НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндра Геометрия (Стереометрия)

Призмы, вписанные в цилиндры

Призмы вписанные в цилиндры  свойства призмы вписанной в цилиндр Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр
отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра Отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около этого параллелепипеда цилиндра
отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра Отношение объема правильной n - угольной призмы к объему описанного около этой призмы цилиндра

цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндра

Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр

      Определение 1. Призмой, вписанной в цилиндр, называют такую призму, основания которой вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра (рис. 1).

      Определение 2. Если призма вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около призмы.

Призмы вписанные в цилиндры  свойства призмы вписанной в цилиндр

Рис.1

      Прежде, чем перейти к вопросу о том, какую призму можно вписать в цилиндр, докажем следующее свойство призм.

       Утверждение 1. Если около оснований призмы можно описать окружности, то отрезок, соединяющий центры описанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.

      Доказательство. Рассмотрим призму   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n , у которой около оснований  
A
1A2 ... An   и   A'1A'2 ... A'n можно описать окружности. Пусть около нижнего основания   A1A2 ... An  призмы   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n   описана окружность с центром  O  радиуса  r. Проведем через точку   O  прямую, параллельную боковому ребру   A1A'1 призмы и пересекающую плоскость верхнего основания в некоторой точке, которую обозначим O'.

      Докажем, что точка   O'  является центром окружности радиуса   r, описанной около верхнего основания призмы. С этой целью рассмотрим, например, четырехугольник   A1A'1O'O (рис. 2).

Призмы вписанные в цилиндры  свойства призмы вписанной в цилиндр

Рис.2

      Этот четырехугольник является параллелограммом, поскольку прямые A1A'1 и OO' параллелельны по построению, а прямые  A1O  и  A'1O'   параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью . Следовательно,

A'1O' = A1O = r .

      Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что

A'1O' = A'2O' = ... =A'nO' = r ,

то есть точка   O'  – центр окружности  радиуса  r, описанной около верхнего основания призмы.  

    В силу того, что четырехугольник   OO'A1A'1 является параллелограммом, получаем равенство

  OO' = A1A'1.

     Утверждение 1 доказано.

      Теорема. Около призмы можно описать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. Призма является прямой призмой;
  2. Около оснований призмы можно описать окружности.

      Доказательство. Докажем сначала, что если около   n  – угольной призмы описан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

     Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, описанного около призмы. Из этого определения также следует, что вписанная в цилиндр призма является прямой призмой, поскольку образующие цилиндра перпендикулярны к плоскостям его оснований,

      Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

      Теперь рассмотрим прямую n  – угольную призму высоты   h, около оснований которой можно описать окружности, и докажем, что около такой призмы можно описать цилиндр.

      Обозначим буквой   O  центр окружности радиуса   r, описанной около нижнего основания призмы, а символом   O'  обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы.

Призмы вписанные в цилиндры  свойства призмы вписанной в цилиндр

Рис.3

      Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок   OO'  параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы   h. Значит, и отрезок   OO'  перпендикулярен плоскости основания призмы и равен   h.

     Цилиндр с осью   OO', радиусом  r  и высотой   h  и будет описан около исходной призмы.

      Доказательство теоремы завершено.

           Следствие 1. Высота призмы, вписанной в цилиндр, равна высоте цилиндра.

       Следствие 2. Около любой прямой треугольной призмы можно описать цилиндр (рис. 4).

Тругольная призма вписанная в цилиндр  цилиндр описанный около треугольной призмы

Рис.4

      Справедливость следствия 2 вытекает из того, что около любого треугольника можно описать окружность.

       Следствие 3. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба) можно описать цилиндр (рис. 5).

прямоугольный	параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда

Рис.5

      Справедливость следствия 3 вытекает из того, что около любого прямоугольника можно описать окружность.

       Замечание 1. Если у прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, равны  a, b, c  и различны, то существует три возможности описать около этого параллелепипеда цилиндр в зависимости от того, какое из ребер параллелепипеда выбрано в качестве образующей описанного цилиндра (рис. 6, 7, 8).

прямоугольный	параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда

Рис.6

прямоугольный	параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда

Рис.7

прямоугольный	параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда

Рис.8

       Следствие 4 . Около любой правильной n - угольной призмы можно описать цилиндр (рис. 9).

правильная призма вписанная в цилиндр  цилиндр описанный около правильной призмы

Рис.9

      Для доказательства следствия 4 достаточно заметить, что правильная n  – угольная призма  – это прямая призма, основания которой являются правильными n  – угольниками, а около любого правильного n – угольника можно описать окружность.

Отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра

       Задача 1. Около прямоугольного параллелепипеда с ребрами  a, b, c  описан цилиндр так, что высота цилиндра равна   c . Найти отношение объемов призмы и цилиндра.

       Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда  ABCDA'B'C'D'  (рис.10)

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

Рис.10

вычисляется по формуле

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

а объем цилиндра, описанного около этого параллелепипеда, можно найти по формуле

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

где  R   – это радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами  a  и  b (рис 11).   

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

Рис.11

      Поскольку угол  ABC  прямой, то  отрезок AC  является диаметром окружности и равен 2R . По теореме Пифагора находим, что

4R2 = a2 + b2 ,

     Следовательно,

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

     Таким образом

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

 

       Ответ.    отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

       Задача 2. Около куба с ребром  a  описан цилиндр. Найти отношение объемов куба и цилиндра.

       Решение. Поскольку куб является прямоугольным параллелепипедом, у которого все ребра равны, то, используя результат задачи 1, получаем

отношение объемов куба и описанного около него цилиндра

       Ответ.    отношение объемов куба и описанного около него цилиндра

Отношение объема правильной n - угольной призмы к объему описанного около этой призмы цилиндра

       Задача 3. Около правильной n - угольной призмы описан цилиндр. Найти отношение объемов призмы и цилиндра.

       Решение. Поскольку и объем призмы, и объем цилиндра вычисляются по формуле

V = Sосн h,

а высота призмы равна высоте описанного около нее цилиндра, то для объемов правильной n - угольной призмы и описанного около нее цилиндра справедливо равенство

отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра

      С помощью формулы для площади правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса R, получаем, что

отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра

     Следовательно,

отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра

       Ответ.    отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра

       Следствие 5. Отношение объема правильной треугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно

отношение объемов правильной треугольной призмы и описанного около нее цилиндра

       Следствие 6. Отношение объема правильной четырехугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно

отношение объемов правильной четырехугольной призмы и описанного около нее цилиндра

       Следствие 7. Отношение объема правильной шестиугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно

отношение объемов правильной шестиугольной призмы и описанного около нее цилиндра

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндра подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндра индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


      Яндекс цитирования