Mосква, Северо-восток

Призмы, вписанные в цилиндры

призмы вписанные в цилиндры свойства призмы вписанной в цилиндрПризмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр
отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндраОтношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около этого параллелепипеда цилиндра
отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндраОтношение объема правильной n - угольной призмы к объему описанного около этой призмы цилиндра
цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около нее цилиндра

Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр

      Определение 1. Призмой, вписанной в цилиндр, называют такую призму, основания которой вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра (рис. 1).

      Определение 2. Если призма вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около призмы.

Призмы вписанные в цилиндры  свойства призмы вписанной в цилиндр

Рис.1

      Прежде, чем перейти к вопросу о том, какую призму можно вписать в цилиндр, докажем следующее свойство призм.

      Утверждение 1. Если около оснований призмы можно описать окружности, то отрезок, соединяющий центры описанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.

      Доказательство. Рассмотрим призму   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n,   у которой около оснований
A1A2 ... An   и   A'1A'2 ... A'n   можно описать окружности. Пусть около нижнего основания   A1A2 ... An   призмы   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n   описана окружность с центром   O   радиуса   r.   Проведем через точку   O   прямую, параллельную боковому ребру   A1A'1   призмы и пересекающую плоскость верхнего основания в некоторой точке, которую обозначим   O'.

      Докажем, что точка   O'  является центром окружности радиуса   r,   описанной около верхнего основания призмы. С этой целью рассмотрим, например, четырехугольник   A1A'1O'O   (рис. 2).

Призмы вписанные в цилиндры  свойства призмы вписанной в цилиндр

Рис.2

      Этот четырехугольник является параллелограммом, поскольку прямые   A1A'1   и   OO'   параллелельны по построению, а прямые   A1O   и   A'1O'   параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью . Следовательно,

A'1O' = A1O = r .

      Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что

A'1O' = A'2O' = ... = A'nO' = r ,

то есть точка   O'   – центр окружности радиуса   r,   описанной около верхнего основания призмы.

      В силу того, что четырехугольник   OO'A1A'1   является параллелограммом, получаем равенство

OO' = A1A'1.

      Утверждение 1 доказано.

      Теорема. Около призмы можно описать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. Призма является прямой призмой;
  2. Около оснований призмы можно описать окружности.

      Доказательство. Докажем сначала, что если около   n – угольной призмы описан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

      Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, описанного около призмы. Из этого определения также следует, что вписанная в цилиндр призма является прямой призмой, поскольку образующие цилиндра перпендикулярны к плоскостям его оснований,

      Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

      Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты   h,   около оснований которой можно описать окружности, и докажем, что около такой призмы можно описать цилиндр.

      Обозначим буквой   O   центр окружности радиуса   r,   описанной около нижнего основания призмы, а символом   O'   обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы.

Призмы вписанные в цилиндры  свойства призмы вписанной в цилиндр

Рис.3

      Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок   OO'   параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы   h. Значит, и отрезок   OO'   перпендикулярен плоскости основания призмы и равен   h.

      Цилиндр с осью   OO', радиусом   r   и высотой   h   и будет описан около исходной призмы.

      Доказательство теоремы завершено.

      Следствие 1. Высота призмы, вписанной в цилиндр, равна высоте цилиндра.

      Следствие 2. Около любой прямой треугольной призмы можно описать цилиндр (рис. 4).

Тругольная призма вписанная в цилиндр  цилиндр описанный около треугольной призмы

Рис.4

      Справедливость следствия 2 вытекает из того, что около любого треугольника можно описать окружность.

      Следствие 3. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба) можно описать цилиндр (рис. 5).

прямоугольный	параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда

Рис.5

      Справедливость следствия 3 вытекает из того, что около любого прямоугольника можно описать окружность.

      Замечание 1. Если у прямоугольного параллелепипеда прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, равны  a, b, c  и различны, то существует три возможности описать около этого параллелепипеда цилиндр в зависимости от того, какое из ребер параллелепипеда выбрано в качестве образующей описанного цилиндра (рис. 6, 7, 8).

прямоугольный параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда

Рис.6

прямоугольный	параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда

Рис.7

прямоугольный	параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда

Рис.8

прямоугольный параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда

Рис.6

прямоугольный	параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда

Рис.7

прямоугольный	параллелепипед вписанный в цилиндр  цилиндр описанный около прямоугольного параллелепипеда

Рис.8

      Следствие 4 . Около любой правильной n - угольной призмы можно описать цилиндр (рис. 9).

правильная призма вписанная в цилиндр  цилиндр описанный около правильной призмы

Рис.9

      Для доказательства следствия 4 достаточно заметить, что правильная n – угольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными n – угольниками, а около любого правильного n – угольника можно описать окружность.

Отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра

      Задача 1. Около прямоугольного параллелепипеда прямоугольного параллелепипеда с ребрами   a, b, c   описан цилиндр так, что высота цилиндра равна   c . Найти отношение объемов призмы и цилиндра.

      Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда   ABCDA'B'C'D'   (рис.10)

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

Рис.10

вычисляется по формуле

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

а объем цилиндра, описанного около этого параллелепипеда, можно найти по формуле

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

где   R – это радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами   a   и   b (рис 11).

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра
отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

Рис.11

      Поскольку угол   ABC   прямой, то отрезок   AC   является диаметром окружности и равен   2R . По теореме Пифагора находим, что

4R2 = a2 + b2 ,

      Следовательно,

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

      ;Таким образом

отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

      Ответ.отношение объемов прямоугольного параллелепипеда и описанного около него цилиндра

      Задача 2. Около куба куба с ребром   a   описан цилиндр. Найти отношение объемов куба и цилиндра.

      Решение. Поскольку куб является прямоугольным параллелепипедом, прямоугольным параллелепипедом, у которого все ребра равны, то, используя результат задачи 1, получаем

отношение объемов куба и описанного около него цилиндра

      Ответ.отношение объемов куба и описанного около него цилиндра

Отношение объема правильной n - угольной призмы к объему описанного около этой призмы цилиндра

      Задача 3. Около правильной n - угольной призмы описан цилиндр. Найти отношение объемов призмы и цилиндра.

      Решение. Поскольку и объем призмы, и объем цилиндра вычисляются по формуле

V = Sосн h,

а высота призмы равна высоте описанного около нее цилиндра, то для объемов правильной n - угольной призмы и описанного около нее цилиндра справедливо равенство

отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра

      С помощью формулы для площади правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса   R,   получаем, что

отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра

      Следовательно,

отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра
отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра

      Ответ.отношение объемов правильной призмы и описанного около нее цилиндра

      Следствие 5. Отношение объема правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно

отношение объемов правильной треугольной призмы и описанного около нее цилиндра

      Следствие 6. Отношение объема правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно

отношение объемов правильной четырехугольной призмы и описанного около нее цилиндра

      Следствие 7. Отношение объема правильной шестиугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра равно

отношение объемов правильной шестиугольной призмы и описанного около нее цилиндра

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндраподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

цилиндры описанные около призм свойства призмы вписанной в цилиндр отношение объема прямоугольного параллелепипеда к объему описанного около него цилиндра отношение объема правильной призмы к объему описанного около не цилиндра индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования