Цилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра |
Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы |
Определение 1. Цилиндром, вписанным в призму, называют такой цилиндр, окружности оснований которого вписаны в многоугольники, являющиеся основаниями призмы, а плоскости боковых граней призмы касаются цилиндра по образующим цилиндра плоскости боковых граней призмы касаются цилиндра по образующим цилиндра (рис. 1).
Рис.1
Определение 2. Если цилиндр вписан в призму, то призму называют описанной около цилиндра.
Прежде, чем перейти к вопросу о том, в какую же призму можно вписать цилиндр, докажем следующее свойство призм.
Утверждение 1. Если в основания призмы можно вписать окружности, то отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.
Доказательство. Рассмотрим призму A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n, у которой в основания A1A2 ... An и A'1A'2 ... A'n можно вписать окружности. Пусть в нижнее основание A1A2 ... An призмы A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n вписана окружность с центром O радиуса r, которая касается прямой A1A2 в точке K . Проведем через точку O прямую, параллельную боковому ребру A1A'1 призмы и пересекающую плоскость верхнего основания в точке O' (рис. 2).
Рис.2
Вследствие признака параллельности прямой и плоскости плоскость KOO' параллелельна боковому ребру A1A'1 , а ее линия пересечения KK' с боковой гранью призмы A1A2A'1A'2 будет параллельна отрезку OO'. Замечая, что отрезки OK и O'K' параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, заключаем, что четырехугольник OO'K'K – параллелограмм.
Поскольку OK – это радиус окружности, проведенный в точку касания окружности радиуса r с центром O и прямой A1A2 , то OK = r и угол OKA1 равен 90° OK = r и угол OKA1 равен 90°. Значит, и O'K' = r и угол O'K'A'1 равен 90°, то есть точка O' удалена от прямой A'1A'2 на расстояние r. точка O' удалена от прямой A'1A'2 на расстояние r.
Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что точка O' равноудалена от всех прямых, на которых лежат ребра верхнего основания A'1A'2, A'2A'3, ... , An – 1An, а поскольку O' лежит в плоскости верхнего основания, то точка O' является центром вписанной в многоугольник A'1A'2 ... A'n окружности.
В силу того, что прямые OO' и A1A'1 параллельны по построению, а прямые OA1 и O'A' параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, замечаем, что четырехугольник OO'A1A'1 является параллелограммом, откуда вытекает равенство: OO' = A1A'1.
Утверждение 1 доказано.
Теорема. В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
Доказательство. Докажем сначала, что если в n – угольную призму вписан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.
Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, вписанного в призму. Докажем, что выполняется и условие 1, т.е. докажем, что описанная около цилиндра призма является прямой призмой.
С этой целью рассмотрим ось цилиндра OO' , соединяющую центры окружностей, вписанных в нижнее и верхнее основания призмы (рис. 3).
Рис.3
Согласно утверждению 1 отрезок OO' параллелен боковым ребрам призмы. Поскольку ось цилиндра OO' перпендикулярна к плоскостям его оснований, то и боковые ребра призмы также перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть призма является прямой призмой.
Таким образом, мы доказали, что, если призма описана около цилиндра, то оба условия теоремы выполнены.
Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты h, в основания которой можно вписать окружности, и докажем, что в такую призму можно вписать цилиндр.
Обозначим буквой O центр окружности радиуса r, вписанной в нижнее основание призмы, а символом O' обозначим центр окружности, вписанной в верхнее основание призмы (рис. 4).
Рис.4
Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы вписанных в них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок OO' параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок OO' перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.
Цилиндр с осью OO', радиусом r и высотой h и будет вписан в исходную призму.
Доказательство теоремы завершено.
Следствие 1 . Высота призмы, описанной около цилиндра, равна высоте цилиндра.
Следствие 2. В любую прямую треугольную призму можно вписать цилиндр.
Справедливость этого утверждения вытекает из того факта, что в любой треугольник можно вписать окружность.
Следствие 3. В любую правильную n – угольную призму можно вписать цилиндр.
Для доказательства этого следствия достаточно заметить, правильная призма является прямой призмой. Основаниями правильной призмы являются правильные многоугольники, а в любой правильный n – угольник можно вписать окружность.
Задача. Найти отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы.
Решение. Поскольку и объем цилиндра, и объем призмыобъем призмы вычисляются по формуле
V = Sосн h,
а высота цилиндра равна высоте описанной около него призмы, то для объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы справедливо равенство
С помощью формулы для площади правильного n - угольника, описанного около окружности радиуса R, получаем соотношение
Следовательно,
Ответ.
Следствие 4. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы равно
Следствие 5. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы равно
Следствие 6. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной шестиугольной призмы равно
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |