e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки школьников к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"




Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмы ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмыТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмы ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмыГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмы Геометрия (Стереометрия)

Цилиндры, вписанные в призмы

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра Цилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра
отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмы Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмы

Цилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра

      Определение 1. Цилиндром, вписанным в призму, называют такой цилиндр, окружности оснований которого вписаны в многоугольники, являющиеся основаниями призмы, а плоскости боковых граней призмы касаются цилиндра по образующим цилиндра (рис. 1).

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра

Рис.1

      Определение 2. Если цилиндр вписан в призму, то призму называют описанной около цилиндра.

      Прежде, чем перейти к вопросу о том, в какую же призму можно вписать цилиндр, докажем следующее свойство призм.

       Утверждение 1. Если в основания призмы можно вписать окружности, то отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.

      Доказательство. Рассмотрим призму   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n , у которой в основания   A1A2 ... An   и   A'1A'2 ... A'n можно вписать окружности. Пусть в нижнее основание   A1A2 ... An  призмы   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n   вписана окружность с центром  O  радиуса  r, которая касается прямой A1A2 в точке   K . Проведем через точку   O  прямую, параллельную боковому ребру   A1A'1 призмы и пересекающую плоскость верхнего основания в точке   O'  (рис. 2).

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра

Рис.2

     Вследствие признака параллельности прямой и плоскости плоскость   KOO'  параллелельна боковому ребру   A1A'1 , а ее линия пересечения   KK'  с боковой гранью призмы   A1A2A'1A'2   будет параллельна отрезку OO'. Замечая, что отрезки   OK   и   O'K'  параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, заключаем, что четырехугольник   OO'K'K – параллелограмм.

     Поскольку   OK   – это радиус окружности, проведенный в точку касания окружности радиуса  r с центром   O  и прямой A1A2 , то   OK = r   и угол   OKA1   равен 90°. Значит, и   O'K' = r  и угол   O'K'A'1   равен 90°, то есть точка   O'  удалена от прямой A'1A'2 на расстояние   r.

     Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что точка O'  равноудалена от всех прямых, на которых лежат ребра верхнего основания  A'1A'2 , A'2A'3,  ... , An -1An , а поскольку   O'  лежит в плоскости верхнего основания, то точка   O'  является центром вписанной в многоугольник A'1A'2 ... A'n   окружности.

     В силу того, что прямые   OO'  и  A1A'1 параллельны по построению, а прямые OA1   и   O'A' параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, замечаем, что четырехугольник   OO'A1A'1 является параллелограммом, откуда вытекает равенство:   OO' = A1A'1.

     Утверждение 1 доказано.

      Теорема. В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. Призма является прямой призмой;
  2. В основания призмы можно вписать окружности.

      Доказательство. Докажем сначала, что если в   n  – угольную призму вписан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

     Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, вписанного в призму. Докажем, что выполняется и условие 1, т.е. докажем, что описанная около цилиндра призма является прямой призмой.

      С этой целью рассмотрим ось цилиндра   OO' , соединяющую центры окружностей, вписанных в нижнее и верхнее основания призмы (рис. 3).

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра

Рис.3

      Согласно утверждению 1 отрезок   OO' параллелен боковым ребрам призмы. Поскольку ось цилиндра   OO' перпендикулярна к плоскостям его оснований, то и боковые ребра призмы также перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть призма является прямой призмой.

      Таким образом, мы доказали, что, если призма описана около цилиндра, то оба условия теоремы выполнены.

      Теперь рассмотрим прямую n  – угольную призму высоты   h, в основания которой можно вписать окружности, и докажем, что в такую призму можно вписать цилиндр.

      Обозначим буквой   O  центр окружности радиуса   r, вписанной в нижнее основание призмы, а символом   O'  обозначим центр окружности, вписанной в верхнее основание призмы (рис. 4).

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра

Рис.4

      Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы вписанных в них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок   OO'  параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы   h. Значит, и отрезок   OO'  перпендикулярен плоскости основания призмы и равен   h.

     Цилиндр с осью   OO', радиусом  r  и высотой   h  и будет вписан в исходную призму.

      Доказательство теоремы завершено.

       Следствие 1 . Высота призмы, описанной около цилиндра, равна высоте цилиндра.

       Следствие 2. В любую прямую треугольную призму можно вписать цилиндр.

      Справедливость этого утверждения вытекает из того факта, что в любой треугольник можно вписать окружность.

       Следствие 3. В любую правильную n – угольную призму можно вписать цилиндр.

      Для доказательства этого следствия достаточно заметить, правильная призма является прямой призмой. Основаниями правильной призмы являются правильные многоугольники, а в любой правильный n – угольник можно вписать окружность.

Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы

       Задача. Найти отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы.

       Решение. Поскольку и объем цилиндра, и объем призмы вычисляются по формуле

V = Sосн h,

а высота цилиндра равна высоте описанной около него призмы, то для объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы справедливо равенство

отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы

      С помощью формулы для площади правильного n - угольника, описанного около окружности радиуса R, получаем соотношение

отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы

     Следовательно,

отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы

       Ответ.    отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы

       Следствие 4. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной треугольной призмы равно

отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной треугольной призмы

       Следствие 5. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной четырехугольной призмы равно

отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной четырехугольной призмы

       Следствие 6. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной шестиугольной призмы равно

отношение объемов цилиндра и описанной окло него правильной шестиугольной призмы

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмы подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмы индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования