Mосква, Северо-восток

Цилиндры, вписанные в призмы

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндраЦилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра
отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмыОтношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n -  угольной призмы
Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмы

Цилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра

      Определение 1. Цилиндром, вписанным в призму, называют такой цилиндр, окружности оснований которого вписаны в многоугольники, являющиеся основаниями призмы, а плоскости боковых граней призмы касаются цилиндра по образующим цилиндра плоскости боковых граней призмы касаются цилиндра по образующим цилиндра (рис. 1).

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра

Рис.1

      Определение 2. Если цилиндр вписан в призму, то призму называют описанной около цилиндра.

      Прежде, чем перейти к вопросу о том, в какую же призму можно вписать цилиндр, докажем следующее свойство призм.

       Утверждение 1. Если в основания призмы можно вписать окружности, то отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.

      Доказательство. Рассмотрим призму   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n,   у которой в основания   A1A2 ... An   и   A'1A'2 ... A'n   можно вписать окружности. Пусть в нижнее основание   A1A2 ... An   призмы   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n   вписана окружность с центром   O   радиуса   r,   которая касается прямой A1A2   в точке   K .   Проведем через точку   O   прямую, параллельную боковому ребру   A1A'1   призмы и пересекающую плоскость верхнего основания в точке   O'   (рис. 2).

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра

Рис.2

      Вследствие признака параллельности прямой и плоскости плоскость   KOO'  параллелельна боковому ребру   A1A'1 ,   а ее линия пересечения   KK'   с боковой гранью призмы   A1A2A'1A'2   будет параллельна отрезку   OO'.   Замечая, что отрезки   OK   и   O'K'   параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, заключаем, что четырехугольник   OO'K'K   – параллелограмм.

      Поскольку   OK  – это радиус окружности, проведенный в точку касания окружности радиуса   r   с центром   O   и прямой A1A2 ,   то   OK = r   и угол   OKA1   равен 90° OK = r   и угол   OKA1   равен 90°. Значит, и   O'K' = r   и угол   O'K'A'1   равен 90°, то есть точка   O'   удалена от прямой   A'1A'2   на расстояние   r.

     Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что точка   O'  равноудалена от всех прямых, на которых лежат ребра верхнего основания   A'1A'2,   A'2A'3,   ... ,   An -1An,   а поскольку  O'   лежит в плоскости верхнего основания, то точка   O'   является центром вписанной в многоугольник   A'1A'2 ... A'n   окружности.

      В силу того, что прямые   OO'   и   A1A'1   параллельны по построению, а прямые OA1   и   O'A'   параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, замечаем, что четырехугольник   OO'A1A'1   является параллелограммом, откуда вытекает равенство:   OO' = A1A'1.

      Утверждение 1 доказано.

      Теорема. В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. Призма является прямой призмой;
  2. В основания призмы можно вписать окружности.

      Доказательство. Докажем сначала, что если в   n – угольную призму вписан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

      Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, вписанного в призму. Докажем, что выполняется и условие 1, т.е. докажем, что описанная около цилиндра призма является прямой призмой.

      С этой целью рассмотрим ось цилиндра   OO' , соединяющую центры окружностей, вписанных в нижнее и верхнее основания призмы (рис. 3).

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра

Рис.3

      Согласно утверждению 1 отрезок   OO' параллелен боковым ребрам призмы. Поскольку ось цилиндра   OO'   перпендикулярна к плоскостям его оснований, то и боковые ребра призмы также перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть призма является прямой призмой.

      Таким образом, мы доказали, что, если призма описана около цилиндра, то оба условия теоремы выполнены.

      Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты   h,   в основания которой можно вписать окружности, и докажем, что в такую призму можно вписать цилиндр.

      Обозначим буквой   O   центр окружности радиуса   r,   вписанной в нижнее основание призмы, а символом   O'   обозначим центр окружности, вписанной в верхнее основание призмы (рис. 4).

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра

Рис.4

      Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы вписанных в них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок   OO'   параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы   h.   Значит, и отрезок   OO'   перпендикулярен плоскости основания призмы и равен   h.

     Цилиндр с осью   OO',   радиусом  r   и высотой   h   и будет вписан в исходную призму.

      Доказательство теоремы завершено.

      Следствие 1 . Высота призмы, описанной около цилиндра, равна высоте цилиндра.

      Следствие 2. В любую прямую треугольную призму можно вписать цилиндр.

      Справедливость этого утверждения вытекает из того факта, что в любой треугольник можно вписать окружность.

      Следствие 3. В любую правильную n – угольную призму можно вписать цилиндр.

      Для доказательства этого следствия достаточно заметить, правильная призма является прямой призмой. Основаниями правильной призмы являются правильные многоугольники, а в любой правильный n – угольник можно вписать окружность.

Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы

      Задача. Найти отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы.

      Решение. Поскольку и объем цилиндра, и объем призмы вычисляются по формуле

V = Sосн h,

а высота цилиндра равна высоте описанной около него призмы, то для объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы справедливо равенство

отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы

      С помощью формулы для площади правильного n - угольника, описанного около окружности радиуса   R,   получаем соотношение

отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы

      Следовательно,

отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы
отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы

      Ответ.отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы

      Следствие 4. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы равно

отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной треугольной призмы

      Следствие 5. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы равно

отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной четырехугольной призмы

      Следствие 6. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной шестиугольной призмы равно

отношение объемов цилиндра и описанной окло него правильной шестиугольной призмы

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмы подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования