Mосква, Северо-восток

Цилиндры, вписанные в призмы

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндраЦилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра
отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмыОтношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n -  угольной призмы
Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмы

Цилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра

      Определение 1. Цилиндром, вписанным в призму, называют такой цилиндр, окружности оснований которого вписаны в многоугольники, являющиеся основаниями призмы, а плоскости боковых граней призмы касаются цилиндра по образующим цилиндра плоскости боковых граней призмы касаются цилиндра по образующим цилиндра (рис. 1).

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра

Рис.1

      Определение 2. Если цилиндр вписан в призму, то призму называют описанной около цилиндра.

      Прежде, чем перейти к вопросу о том, в какую же призму можно вписать цилиндр, докажем следующее свойство призм.

       Утверждение 1. Если в основания призмы можно вписать окружности, то отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.

      Доказательство. Рассмотрим призму   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n,   у которой в основания   A1A2 ... An   и   A'1A'2 ... A'n   можно вписать окружности. Пусть в нижнее основание   A1A2 ... An   призмы   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n   вписана окружность с центром   O   радиуса   r,   которая касается прямой A1A2   в точке   K .   Проведем через точку   O   прямую, параллельную боковому ребру   A1A'1   призмы и пересекающую плоскость верхнего основания в точке   O'   (рис. 2).

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра

Рис.2

      Вследствие признака параллельности прямой и плоскости плоскость   KOO'  параллелельна боковому ребру   A1A'1 ,   а ее линия пересечения   KK'   с боковой гранью призмы   A1A2A'1A'2   будет параллельна отрезку   OO'.   Замечая, что отрезки   OK   и   O'K'   параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, заключаем, что четырехугольник   OO'K'K   – параллелограмм.

      Поскольку   OK  – это радиус окружности, проведенный в точку касания окружности радиуса   r   с центром   O   и прямой A1A2 ,   то   OK = r   и угол   OKA1   равен 90° OK = r   и угол   OKA1   равен 90°. Значит, и   O'K' = r   и угол   O'K'A'1   равен 90°, то есть точка   O'   удалена от прямой   A'1A'2   на расстояние   r. точка   O'   удалена от прямой   A'1A'2   на расстояние   r.

     Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что точка   O'  равноудалена от всех прямых, на которых лежат ребра верхнего основания   A'1A'2,   A'2A'3,   ... ,   An -1An,   а поскольку  O'   лежит в плоскости верхнего основания, то точка   O'   является центром вписанной в многоугольник   A'1A'2 ... A'n   окружности.

      В силу того, что прямые   OO'   и   A1A'1   параллельны по построению, а прямые OA1   и   O'A'   параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, замечаем, что четырехугольник   OO'A1A'1   является параллелограммом, откуда вытекает равенство:   OO' = A1A'1.

      Утверждение 1 доказано.

      Теорема. В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. Призма является прямой призмой;
  2. В основания призмы можно вписать окружности.

      Доказательство. Докажем сначала, что если в   n – угольную призму вписан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

      Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, вписанного в призму. Докажем, что выполняется и условие 1, т.е. докажем, что описанная около цилиндра призма является прямой призмой.

      С этой целью рассмотрим ось цилиндра   OO' , соединяющую центры окружностей, вписанных в нижнее и верхнее основания призмы (рис. 3).

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра

Рис.3

      Согласно утверждению 1 отрезок   OO' параллелен боковым ребрам призмы. Поскольку ось цилиндра   OO'   перпендикулярна к плоскостям его оснований, то и боковые ребра призмы также перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть призма является прямой призмой.

      Таким образом, мы доказали, что, если призма описана около цилиндра, то оба условия теоремы выполнены.

      Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты   h,   в основания которой можно вписать окружности, и докажем, что в такую призму можно вписать цилиндр.

      Обозначим буквой   O   центр окружности радиуса   r,   вписанной в нижнее основание призмы, а символом   O'   обозначим центр окружности, вписанной в верхнее основание призмы (рис. 4).

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра

Рис.4

      Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы вписанных в них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок   OO'   параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы   h.   Значит, и отрезок   OO'   перпендикулярен плоскости основания призмы и равен   h.

     Цилиндр с осью   OO',   радиусом  r   и высотой   h   и будет вписан в исходную призму.

      Доказательство теоремы завершено.

      Следствие 1 . Высота призмы, описанной около цилиндра, равна высоте цилиндра.

      Следствие 2. В любую прямую треугольную призму можно вписать цилиндр.

      Справедливость этого утверждения вытекает из того факта, что в любой треугольник можно вписать окружность.

      Следствие 3. В любую правильную n – угольную призму можно вписать цилиндр.

      Для доказательства этого следствия достаточно заметить, правильная призма является прямой призмой. Основаниями правильной призмы являются правильные многоугольники, а в любой правильный n – угольник можно вписать окружность.

Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы

      Задача. Найти отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы.

      Решение. Поскольку и объем цилиндра, и объем призмы вычисляются по формуле

V = Sосн h,

а высота цилиндра равна высоте описанной около него призмы, то для объемов цилиндра и описанной около него правильной n - угольной призмы справедливо равенство

отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы

      С помощью формулы для площади правильного n - угольника, описанного около окружности радиуса   R,   получаем соотношение

отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы

      Следовательно,

отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы
отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы

      Ответ.отношение объемов цилиндра и описанной около него призмы

      Следствие 4. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы равно

отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной треугольной призмы

      Следствие 5. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы равно

отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной четырехугольной призмы

      Следствие 6. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной шестиугольной призмы равно

отношение объемов цилиндра и описанной окло него правильной шестиугольной призмы

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмы подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Цилиндры вписанные в призмы  свойства призмы описанной около цилиндра отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной призмыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования