e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки школьников к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"




октаэдр объем и площадь поверхности октаэдраТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
октаэдр объем и площадь поверхности октаэдра ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике октаэдр площадь поверхности октаэдра объем октаэдра Геометрия (Стереометрия)

Октаэдр. Объем и площадь поверхности октаэдра

октаэдр теорема Эйлера Октаэдр
Объем и площадь поверхности октаэдра Объем и площадь поверхности октаэдра

октаэдр площадь поверхности октаэдра объем октаэдра

Октаэдр

     Рассмотрим куб и обозначим символами   A   и  A',   B   и  B',   C  и  C'  центры его противоположных граней (рис. 1).

октаэдр теорема Эйлера

Рис.1

      Фигуру, состоящую из двух равных правильных четырехугольных пирамид   ABC'B'C  и   A'BC'B'C  с общим основанием   BC'B'C, называют октаэдром (рис. 2).

октаэдр теорема Эйлера

Рис.2

      Вершины правильных четырехугольных пирамид  ABC'B'C  и   A'BC'B'C  называют вершинами октаэдра, ребра этих пирамид называют ребрами октаэдра, а боковые грани пирамид называют гранями октаэдра. Отрезки   AA',   BB'  и  CC' называют диагоналями октаэдра.

      Теорема Эйлера . Для октаэдра справедливо равенство:

число вершин
+
число граней
число ребер
= 2

     Для доказательства теоремы Эйлера достаточно заметить, что у октаэдра  8  граней,  6  вершин и  12  ребер.

          Свойства октаэдра:

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все ребра октаэдра равны.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все грани октаэдра являются равными равносторонними (правильными) треугольниками.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Диагонали октаэдра равны.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Диагонали октаэдра взаимно перпендикулярны.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Диагонали октаэдра пересекаются в одной точке и делятся в точке пересечения пополам.

Объем и площадь поверхности октаэдра

     Обозначим буквой   a  длину ребра октаэдра   AA'BB'CC' (рис. 3).

Объем и площадь поверхности октаэдра

Рис.3

      Для того, чтобы найти объем октаэдра   AA'BB'CC', заметим, что этот объем равен удвоенному объему правильной четырехугольной пирамиды   ABC'B'C. Основанием пирамиды ABC'B'C является квадрат со стороной   a, а высота пирамиды равна длине отрезка AO.

      Следовательно, площадь основания пирамиды

SBCB'C' = a 2,

высота пирамиды

объем октаэдра

объем пирамиды

объем октаэдра

Поэтому объем октаэдра

объем октаэдра

      Поскольку площадь грани октаэдра

площадь поверхности октаэдра

то площадь поверхности октаэдра

площадь поверхности октаэдра

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

октаэдр объем и площадь поверхности октаэдра подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

октаэдр объем и площадь поверхности октаэдра индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования