Mосква, Северо-восток

Сфера и шар. Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

сфера шар шаровой слой сферический слой шаровой пояс сферический пояс основания высота сферический сегмент шаровой сегмент шаровой сектор площадь сферического сегментаШар, сфера и их части
площадь сферического пояса площадь сферы объем шара объем шарового сектора объем шарового слоя объем шарового сегментаПлощади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей
сфера шар шаровой слой сферический слой шаровой пояс сферический пояс основания высота сферический сегмент шаровой сегмент шаровой сектор площадь сферического сегмента площадь сферического пояса площадь сферы объем шара объем шарового сектора объем шарового слоя объем шарового сегмента

Шар, сфера и их части

      Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

      Определение 1. Сферой с центром в точке   O   и радиусом   r  называют множество точек, расстояние от которых до точки   O   равно   r   (рис. 1).

      Определение 2. Шаром с центром в точке   O   и радиусом   r  называют множество точек, расстояние от которых до точки   O   не превосходит   r   (рис. 1).

сфера шар

Рис.1

      Таким образом, сфера с центром в точке   O  и радиусом   r   является поверхностью шара с центром в точке   O  и радиусом   r.

      Замечание. Радиусом сферы (радиусом шара) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом шара).

      Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

      Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями   (рис. 2).

сферический пояс шаровой пояс
сферический пояс шаровой пояс

Рис.2

      Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

      Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

      Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

      Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями оснований шарового слоя.

      Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

      Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

сферический сегмент
сферический сегмент

Рис.3

      Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

      Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента.

сферический сегмент и сферический пояс
сферический сегмент и сферический пояс

Рис.4

      По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

сфера и сферический пояс
сфера и сферический пояс

Рис.5

      Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

шаровой сектор

Рис.6

      Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента.

      Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы.

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

      В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

ФигураРисунокФормулаОписание
СфераОбъем шара площадь сферы

S = 4πr2,

где
r – радиус сферы.

Площадь сферы
Шар

объем шара

где
r – радиус шара.

Объем шара
Сферический поясплощадь сферического пояса объем шарового слоя

S = 2πrh,

где
r – радиус сферы,
h  – высота сферического пояса.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Площадь сферического пояса
Шаровой слой

объем шарового слоя

где
r1 , r2 – радиусы оснований шарового слоя,
hвысота шарового слоя.

Объем шарового слоя
Сферический сегментОбъем шарового сегмента площадь сферического сегмента

S = 2πrh,

где
r – радиус сферы,
hвысота сферического сегмента.

Площадь сферического сегмента
Шаровой сегмент

объем шарового слоя

где
r – радиус шара,
hвысота шарового сегмента.

Объем шарового сегмента
Шаровой секторОбъем шарового сектора

объем шарового сектора

где
r – радиус шара,
hвысота шарового сектора.

Объем шарового сектора
Сфера
Объем шара площадь сферы

Площадь сферы:

S = 4πr2,

где
r – радиус сферы.

Шар
Объем шара площадь сферы

Объем шара:

объем шара

где
r – радиус шара.

Сферический пояс
площадь сферического пояса объем шарового слоя

Площадь сферического пояса:

S = 2πrh,

где
r – радиус сферы,
h  – высота сферического пояса.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Шаровой слой
площадь сферического пояса объем шарового слоя

Объем шарового слоя:

объем шарового слоя

где
r1 , r2 – радиусы оснований шарового слоя,
hвысота шарового слоя.

Сферический сегмент
Объем шарового сегмента площадь сферического сегмента

Площадь сферического сегмента:

S = 2πrh,

где
r – радиус сферы,
hвысота сферического сегмента.

Шаровой сегмент
Объем шарового сегмента площадь сферического сегмента

Объем шарового сегмента:

объем шарового слоя

где
r – радиус шара,
hвысота шарового сегмента.

Шаровой сектор
Объем шарового сектора

Объем шарового сектора:

объем шарового сектора

где
r – радиус шара,
hвысота шарового сектора.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

сфера шар сферический сегмент шаровой сегмент сферический пояс шаровой пояс шаровой слой шаровой сектор высота основания объем шара объем шарового слоя объем шарового сектора объем шарового сегмента площадь сферы площадь сферического пояса площадь сферического сегментаподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

сфера шар сферический сегмент шаровой сегмент сферический пояс шаровой пояс шаровой слой шаровой сектор высота основания объем шара объем шарового слоя объем шарового сектора объем шарового сегмента площадь сферы площадь сферического пояса площадь сферического сегментаиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования