Mосква, Северо-восток

Призма, вписанная в сферу

Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферуПризма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу
радиус сферы описанной около правильной призмыРадиус сферы, описанной около правильной n - угольной призмы
отношение объемов правильной призмы и описанной около нее сферыОтношение объема правильной n - угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около этой призмы сферой
Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу радиус сферы описанной около правильной призмы отношение объемов правильной призмы и описанной около нее сферы

Призма, вписанная в сферу. Свойства призмы, вписанной в сферу

      Определение 1. Призмой, вписанной в сферу, называют такую призму, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

      Определение 2. Если призма вписана в сферу, то сферу называют описанной около призмы.

Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу
Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу
Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу

Рис.1

      Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. Призма является прямой призмой;
  2. Около оснований призмы можно описать окружности.

      Доказательство. Докажем сначала, что если   n – угольная призма   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

      Для этого заметим, что плоскость каждого из оснований призмы пересекает сферу по окружности, на которой лежат вершины этого основания. Таким образом, многоугольники, являющиеся основаниями призмы, оказываются вписанными в окружности (рис. 1), то есть второе условие теоремы выполнено.

      Каждая из боковых граней призмы также вписана в окружность (рис. 2).

Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу
Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу
Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу

Рис.2

      В разделе «Призмы» доказано, что каждая из боковых граней призмы – параллелограмм. Но около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда этот параллелограмм – прямоугольник. Следовательно, все боковые грани призмы являются прямоугольниками.

      Рассмотрим какое-нибудь боковое ребро призмы, например,   A2A'2.   Поскольку это ребро перпендикулярно к ребрам основания   A1A2   и   A2A3,   то в силу признака перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что боковое ребро   A2A'2   перпендикулярно к плоскости основания призмы, то есть призма является прямой призмой.

      Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в сферу, то оба условия теоремы выполнены.

      Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n   высоты   h,   около оснований которой можно описать окружности, и докажем, что около такой призмы можно описать сферу.

      Для этого обозначим символом   O1   центр окружности радиуса   r, описанной около нижнего основания призмы, а символом   O'1   обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы (рис. 3).

Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу
Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу
Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу

Рис.3

      Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны.

      Согласно утверждению 1 из раздела «Призмы, вписанные в цилиндры» отрезок   O1O'1,   соединяющий центры окружностей, описанных около нижнего и верхнего оснований призмы, параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы   h.   Значит, и отрезок   O1O'1   перпендикулярен плоскости основания призмы и равен   h.

      Обозначим буквой   O   середину отрезка   O1O'1   и докажем, что все вершины призмы будут находиться на одном и том же расстояниии от точки   O   (рис. 4).

Призма вписанная в сферу сфера описанная около призмы
Призма вписанная в сферу сфера описанная около призмы

Рис.4

      C помощью теоремы Пифагора из равных прямоугольных треугольников   OA1O1,   OA2O1,   ...   OAnO1,   OA'1O'1,   OA'2O'1,   ...   OA'nO'1   получаем, что точка   O   находится на расстоянии

Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу(1)

от всех вершин призмы. Отсюда следует, что точка   O   является центром сферы радиуса   R  , описанной около призмы.

      Теорема доказана.

      Следствие 1. Около любой прямой треугольной призмы можно вписать сферу.

      Справедливость следствия 1 вытекает из того, что около любого треугольника можно описать окружность.

      Следствие 2. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба) можно описать сферу.

      Справедливость следствия 2 вытекает из того, что около любого прямоугольника можно описать окружность.

      Следствие 3. Около любой правильной призмы можно описать сферу.

      Для доказательства следствия 3 достаточно заметить, что правильная n – угольная призма – это прямая призма, основания которой являются правильными n – угольниками, а около любого правильного n – угольника можно описать окружность.

Радиус сферы, описанной около правильной n - угольной призмы

      Задача 1. Найти радиус сферы, описанной около правильной n - угольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a.

      Решение. Поскольку радиус описанной около правильного n - угольника окружности выражается через сторону этого многоугольникарадиус описанной около правильного n - угольника окружности выражается через сторону этого многоугольника по формуле

радиус сферы описанной около правильной призмы

то из формулы (1) получаем выражение для радиуса описанной сферы

радиус сферы описанной около правильной призмы(2)

      Ответ.радиус сферы описанной около правильной призмы

      Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   равен

радиус сферы описанной около правильной треугольной призмы

      Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   равен

радиус сферы описанной около правильной четырехугольной призмы

      Следствие 6. Радиус сферы, описанной около около правильной шестиугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   равен

радиус сферы описанной около правильной шестиугольной призмы

 

Отношение объема правильной n - угольной призмы к объему шара, ограниченного описанной около призмы сферой

      Задача 2. Около правильной n - угольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   описана сфера. Найти отношение объемов призмы и шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы.

      Решение. Объем шара выражается через его радиус по формуле

отношение объемов правильной призмы и описанной около нее сферы

      Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около призмы сферой, через высоту и ребро основания призмы:

отношение объемов правильной призмы и описанной около нее сферы

      Объем правильной n - угольной призмы найдем по формулеОбъем правильной n - угольной призмы найдем по формуле:

отношение объемов правильной призмы и описанной около нее сферы

      Таким образом,

отношение объемов правильной призмы и описанной около нее сферы
отношение объемов правильной призмы и описанной около нее сферы

      Ответ.отношение объемов правильной призмы и описанной около нее сферы

      Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

отношение объемов правильной треугольной призмы и описанной около нее сферы

      Следствие 8. Отношение объема правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

отношение объемов правильной четырехугольной призмы и описанной около нее сферы

      Следствие 9. Отношение объема правильной шестиугольной призмы с высотой   h   и ребром основания   a   к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

отношение объемов правильной шестиугольной призмы и описанной около нее сферы

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу радиус сферы описанной около правильной призмы отношение объемов правильной призмы и описанной около нее сферыподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Сфера описанная около призмы свойства призмы вписанной в сферу радиус сферы описанной около правильной призмы отношение объемов правильной призмы и описанной около нее сферыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ ПАРТНЕРЫ

    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика