Mосква, Северо-восток

Теорема Пифагора. Теорема косинусов

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия теорема ПифагораТеорема Пифагорав
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия теорема косинусовТеорема косинусов
Типы треугольников признаки равенства треугольников признаки равенства прямоугольных треугольников

Теорема Пифагора

      Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

      Доказательство. Докажем, что длины сторон произвольного прямоугольного треугольника ABC (рис.1)

Теорема Пифагора доказательство

Рис.1

удовлетворяют равенству

c2 = a2 + b2

      С этой целью рассмотрим квадратквадрат со стороной, равной c, изображённый на рисунке 2.

Теорема Пифагора доказательство

Рис.2

      Площадь этого квадрата равна сумме площадей четырёх одинаковых прямоугольных треугольников, равных треугольнику ABC (рис.3, рис.4), и площади квадрата со стороной, равной a b (рис.5).

Теорема Пифагора доказательство
Рис.3
Теорема Пифагора доказательство
Рис.4
Теорема Пифагора доказательство
Рис.5

      Поэтому справедливо равенство

Теорема Пифагора доказательство
Теорема Пифагора доказательство

что и требовалось доказать.

Теорема косинусов

      Теорема косинусов. Квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними.

      Доказательство. Рассмотрим сначала треугольник ABC, у которого углы A и С – острые (рис.6).

Теорема косинусов доказательство

Рис.6

      Докажем, что длины сторон этого треугольника удовлетворяют равенству

a2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A(1)

      С этой целью проведём высоту BD из вершины B (рис.7).

Теорема косинусов доказательство

Рис.7

      В соответствии с определениями синуса и косинуса угла прямоугольного треугольника справедливы равенства

BD = c sin A,   AD = c cos A,   DC = b – AD = b – c cos A.

      Из теоремы Пифагора, применённой к прямоугольному треугольнику BDC, получим

a 2 = BD 2 + DC 2 = c 2 sin2 A + (b – c cos A)2 =

= c 2 sin2 A + b2 – 2 bc cos A + c 2 cos2 A = b2 + c 2 – 2 bc cos A.

a 2 = BD 2 + DC 2 =
= c
2 sin2 A + (b – c cos A)2 =
= c 2 sin2 A + b2
– 2 bc cos A + c 2 cos2 A =
= b2 + c 2 – 2 bc cos A.

      Таким образом, в случае треугольника ABC с острыми углами A и С теорема косинусов доказана.

      Замечание 1. Для того, чтобы получить полное доказательство теоремы косинусов, необходимо рассмотреть также и следующие случаи:

  1. Угол A – острый, угол C – тупой (рис.8)

    Теорема косинусов доказательство

    Рис.8

  2. Угол A – прямой (рис. 9).

    Теорема косинусов доказательство

    Рис.6

  3. Угол A – тупой (рис.10).

    Теорема косинусов доказательство

    Рис.10

      Во всех перечисленных случаях доказательства теоремы косинусов проводятся совершенно аналогично тому, как это было сделано для случая острых углов A  и C, и мы рекомендуем читателю провести эти доказательства в качестве полезного и несложного упражнения.

      Замечание 2. В случае, когда угол A является прямым углом, формула (1) принимает вид

a2 = b2 + c2,

откуда вытекает, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

      Замечание 3. Если у треугольника известны длины всех сторон, то с помощью теоремы косинусов можно найти косинус любого угла треугольника, например,

Теорема косинусов доказательство

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Теорема Пифагора теорема косинусов доказательстваподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Теорема Пифагора теорема косинусов доказательстваиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования