e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:


До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд




НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрии Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Тригонометрические функции кратных углов вывод с помощью комплексных чисел Тригонометрия

Тригонометрические функции кратных углов
(вывод с помощью комплексных чисел)

      Рассмотрим комплексное число

z = cos α + i sin α ,  (1)

модуль которого равен 1, а аргумент равен α (см. раздел «Комплексные числа» нашего справочника). Если комплексное число (1) возвести в квадрат, то, с одной стороны,

z 2 = cos 2α + i sin 2α ,  (2)

а, с другой стороны,

z 2 = (cos α + i sin α) 2 = cos 2α + 2i cos α sin α – sin 2α , (3)

откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (2) и (3), мы получаем тригонометрические формулы «Косинус двойного угла» и «Синус двойного угла»:

cos 2α = cos 2α – sin 2α ,

sin 2α = 2 cos α sin α .

      Если же комплексное число  (1) возвести в куб, то, с одной стороны,

z 3 = cos 3α + i sin 3α ,  (4)

а, с другой стороны,

z 3 = (cos α + i sin α) 3 = cos 3α + 3cos 2α (i sin α) + 3cos α (i sin α)2 + (i sin α)3 =

= cos 3 α – 3cos α sin2α + 3i cos2α sin α –i sin3α =

= cos 3 α – 3cos α sin2α + i (3cos2α sin α – sin3α) .

(5)

      Следовательно,

z 3 = cos 3 α – 3cos α sin2 α + i (3cos 2α sin α – sin3α) ,

откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (4) и (5), мы получаем соотношения

cos 3α = cos3α – 3cos α sin2 α = cos3α – 3cos α (1 – cos2α) = 4cos3α – 3cos α ,

sin 3α = 3cos2α sin α – sin3α = 3(1 – sin2α) sin α – sin3α = 3sin α – 4sin3α ,

      Таким образом,

cos 3α = 4cos3α – 3cos α ,

sin 3α = 3sin α – 4sin3α ,

и вывод тригонометрических формул «Косинус тройного угла» и «Синус тройного угла» завершен.

      Совершенно аналогично можно вывести формулы для cos nα  и  sin nα, где n  – произвольное натуральное число.              

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

        Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Тригонометрические функции кратных углов вывод с помощью комплексных чисел курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 10 и 11 классов

         У нас также для школьников организованы

Тригонометрические функции кратных углов вывод с помощью комплексных чисел индивидуальные занятия с репетиторами по математике
Тригонометрические функции кратных углов вывод с помощью комплексных чисел индивидуальные занятия с репетиторами по русскому языку
Тригонометрические функции кратных углов вывод с помощью комплексных чисел индивидуальные занятия с репетиторами по физике

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования