e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара (сферы) и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов шара (сферы) и описанной правильной призмыЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара (сферы) и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов шара (сферы) и описанной правильной призмыТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара (сферы) и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов шара (сферы) и описанной правильной призмы ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара (сферы) и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов шара (сферы) и описанной правильной призмыГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара (сферы) и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов шара (сферы) и описанной правильной призмы ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы Геометрия (Стереометрия)

Сфера, вписанная в призму

сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы Сфера, вписанная в призму. Свойства прямой призмы, описанной около сферы
отношение объемов сферы шара и описанного куба Отношение объемов шара и куба, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы Свойства правильной призмы, описанной около сферы. Отношение объемов шара и правильной n - угольной призмы, описанной около сферы, ограничивающей этот шар

сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

Сфера, вписанная в призму. Свойства прямой призмы, описанной около сферы

      Определение 1. Сферой, вписанной в призму, называют такую сферу, которая касается плоскостей всех граней призмы, причем точки касания лежат на гранях призмы (рис. 1).

сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы

Рис.1

      Определение 2. Если сфера вписана в призму, то призму называют описанной около сферы.

      Таким образом, если призма описана около сферы, то плоскости всех граней призмы являются касательными плоскостями к этой сфере.

      Далее мы будем рассматривать только прямые призмы.

      Утверждение. Если в прямую призму вписана сфера радиуса   R ,   то высота призмы равна   2R, а в основания призмы можно вписать окружности радиуса   R .

      Доказательство. Рассмотрим прямую призму, описанную около сферы (рис.2).

сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы

Рис.2

      Обозначим буквой   O   центр вписанной сферы, а символами   O'   и   O"   – точки касания сферы с плоскостями оснований призмы. Заметим, что плоскости оснований призмы параллельны, а радиусы   OO'   и   OO"   проведены в точки касания сферы с плоскостями оснований призмы и, следовательно, перпендикулярны плоскостям оснований призмы. Поэтому прямая   O'O"   перпендикулярна плоскостям оснований призмы, центр вписанной сферы   O   является серединой отрезка   O'O",   а высота призмы равна длине отрезка   O'O"   и равна   2R .

      Проведем через точку   O   плоскость, перпендикулярную прямой   O'O" ,   и докажем, что все точки касания сферы с боковыми гранями призмы лежат в этой плоскости.   Для этого обозначим точку касания сферы с какой-либо гранью призмы буквой   L   и докажем, что прямая   OL   перпендикулярна прямой   O'O"   (рис. 3).

сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы

Рис.3

      Действительно, радиус   OL , проведенный в точку касания сферы с боковой гранью призмы перпендикулярен плоскости этой грани, а, значит, перпендикулярен любой прямой, лежащей на этой грани, и, в том числе,   OL   будет перпендикулярен боковому ребру призмы.

      Рассматриваемая призма является прямой призмой, поэтому ее боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований. Прямая   O'O"   также перпендикулярна к плоскостям оснований и, следовательно, параллельна боковым ребрам призмы. Таким образом, мы можем заключить, что прямая   OL   перпендикулярна прямой   O'O"   и, значит, лежит в плоскости, перпендикулярной прямой   O'O"   и проходящей через точку   O .

      Сечение призмы и вписанной в нее сферы плоскостью, перпендикулярной прямой   O'O"   и проходящей через точку   O,   представляет собой многоугольник, равный основаниям призмы, со вписанной в него окружностью радиуса   R   (рис. 3).

      Утверждение доказано.

      Следствие. В любой куб можно вписать сферу.

Отношение объемов шара и куба, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

      Задача 1. Найти отношение объемов шара и куба, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.

      Решение. Если сфера радиуса   R   вписана в куб, то ребро куба равно   2R   (рис. 4).

отношение объемов сферы шара и описанного куба

Рис.4

     Объем шара, ограниченного данной сферой, вычисляется по формуле

отношение объемов сферы шара и описанного куба,

а объем куба с ребром   2R  вычисляется по формуле:

Vкуба = (2R)3 = 8R3 .

      Следовательно,

отношение объемов сферы шара и описанного куба (1)

      Ответ. отношение объемов сферы шара и описанного куба

Свойства правильной призмы, описанной около сферы.
Отношение объемов шара и правильной n - угольной призмы,
описанной около сферы, ограничивающей этот шар

       Задача 2. В правильную n - угольную призму с ребром основания   a   вписана сфера. Найти:

  1. Высоту призмы;
  2. Отношение объемов шара, ограниченного вписанной в правильную n - угольную призму сферой, и призмы.

       Решение. Радиус окружности, вписанной в правильный n - угольник со стороной   a   можно вычислить по формуле:

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

       Следовательно, высота призмы равна

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

       Объем шара вычисляется по формуле

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

       Площадь основания призмы равна

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

       Объем призмы находим по формуле:

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

       Поэтому

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

       Ответ.   

  1. свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы
  2. свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

       Следствие 1. Отношение объема шара к объему правильной треугольной призмы, описанной около сферы, ограничивающей этот шар, равно

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

       Следствие 2. Отношение объема шара к объему правильной четырехугольной призмы, описанной около сферы, ограничивающей этот шар, равно

отношение объемов сферы шара и описанного куба

       Замечание. Как мы видим, при   n = 4   формула для отношения объемов в ответе (пункт 2) совпадает с формулой (1).

       Следствие 3. Отношение объема шара к объему правильной шестиугольной призмы, описанной около сферы, ограничивающей этот шар, равно

свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара и описанной правильной призмы

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара (сферы) и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов шара (сферы) и описанной правильной призмы подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

сфера вписанная в призму свойства прямой призмы описанной около сферы отношение объемов сферы шара (сферы) и описанного куба свойства правильной призмы описанной около сферы отношение объемов шара (сферы) и описанной правильной призмы индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


      Яндекс цитирования