e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдрЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдрТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдрГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдрЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдрПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдрЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдрЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр Геометрия (Стереометрия)

Сфера, вписанная в пирамиду

биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости
сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы
радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр Радиус сферы, вписанной в правильную n - угольную пирамиду
радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду Сфера, вписанная в треугольную пирамиду. Формула для радиуса вписанной сферы

биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр

Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости

      Определение 1. Биссекторной плоскостью двугранного угла называют такую плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит этот угол на два равных двугранных угла (рис. 1).

биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости

Рис.1

      Утверждение 1. Точка, расположенная внутри двугранного угла, находится на одном и том же расстоянии от граней этого угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссекторной плоскости.

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку   O,  расположенную внутри двугранного угла, и проведем через эту точку плоскость   δперпендикулярную к ребру   AB  двугранного угла (рис. 2).

биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости

Рис.2

      Плоскость   δ  пересекает ребро   AB  двугранного угла в точке   C,  а грани двугранного угла   α  и β  по лучам   CD  и   CE  соответственно. Угол   DCE  является линейным углом двугранного угла. Биссекторная плоскость   γ  пересекает плоскость   δ  по биссектрисе   CF  линейного угла   DCE . 

      Поскольку плоскости   α  и β  проходят через перпендикуляр   AB  к плоскости   δ,  то плоскости   α  и β  перпендикулярны к плоскости   δ.  Из свойств прямой, перпендикулярной к плоскости, следует, что и перпендикуляры, опущенные из точки   O  на грани двугранного угла   α  и β,  лежат в плоскости   δ. 

      Таким образом, справедливость утверждения вытекает из соответствующих теорем о свойствах биссектрисы угла. Доказано.

      Следствие 1. Если сфера, расположенная внутри двугранного угла, касается каждой из плоскостей граней этого угла, то центр сферы находится на биссекторной плоскости двугранного угла (рис. 3).

биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости

Рис.3

Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы

      Определение 2. Сферой, вписанной в пирамиду, называют такую сферу, которая касается плоскостей всех граней пирамиды, причем точки касания лежат на гранях пирамиды (рис. 4).

сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы

Рис.4

      Определение 3. Если сфера вписана в пирамиду, то пирамиду называют описанной около сферы.

      Если сфера вписана в пирамиду, то она касается граней каждого внутреннего двугранного угла, образованного соседними гранями пирамиды. В соответствии со следствием 1 центр вписанной в пирамиду сферы должен находиться в точке пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды.

      Если у пирамиды нет точки, в которой пересекаются биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды, то в такую пирамиду нельзя вписать сферу.

      Замечание 1. Для того, чтобы проверить, можно ли в пирамиду вписать сферу, достаточно проверить, существует ли точка пересения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды. Если такая точка существует, то она будет равноудалена как от основания пирамиды, так и от каждой из боковых граней.

      Рассмотрим несколько типов пирамид, в которые можно вписать сферу.

      Утверждение 2. Если у пирамиды   SA1A1A2 ... An   основание   O  перпендикуляра, опущенного из вершины   S   на плоскость основания пирамиды, лежит внутри многоугольника   A1A2 ... An , а все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания пирамиды, то в такую пирамиду можно вписать сферу.

     Доказательство. Пусть все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ ,  а высота пирамиды равна   h.   Рассмотрим, например, боковую грань   SA1A2 и проведем в ней высоту   SB (рис. 5).

сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы

Рис.5

       По теореме о трех перпендикулярах отрезок   OB перпендикулярен ребру  A1A2. Следовательно, угол   SBO является линейным углом двугранного угла между боковой гранью  SA1A2 и плоскостью основания пирамиды и равен φ.   Биссекторная плоскость этого двугранного угла пересекает высоту пирамиды в точке   O'  (рис. 6).

сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы

Рис.6

       Катет   OB   прямоугольного треугольника   SOB   выражается через высоту пирамиды   h   и угол   φ   по формуле

OB = h ctg φ .

       Катет   OO'   прямоугольного треугольника   OO'B   выражается через высоту пирамиды   h   и угол   φ   по формуле

сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы

       Поскольку длина отрезка   OO'   не зависит от выбора боковой грани пирамиды, то биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды пересекаются в точке   O',   которая и является центром вписанной в пирамиду сферы.

       Доказательство утверждения 2 завершено.

      Поскольку у любой правильной пирамиды все внутренние двугранные углы при основании равны, то справедливо

      Следствие 2. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, причем ее радиус   R  выражается через высоту пирамиды   h   и внутренний двугранный угол при основании пирамиды   φ   по формуле

сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы (1)

 

Радиус сферы, вписанной в правильную n - угольную пирамиду

       Задача. Высота правильной n - угольной пирамиды равна   h ,  а длина ребра основания равна   a . Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду.

       Решение. Рассмотрим правильную n - угольную пирамиду   SA1A2 ... An и обозначим символом   O'  центр вписанной в пирамиду сферы, а буквой   O  – центр основания пирамиды. Проведем плоскость через высоту пирамиды   SO   и апофему SB   какой-либо боковой грани (рис. 7).

радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр

Рис.7

       Буквой   R  на рисунке 7 обозначен радиус вписанной в пирамиду сферы, буквой   r  – радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а буквой   φ   – внутренний двугранный угол при основании пирамиды. Из прямоугольного треугольника   OSB   получаем

радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр (2)

      В силу следствия 2 из формул (1) и (2) получаем

радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр (3)

      Поскольку радиус вписанной в правильный n - угольник окружности выражается через сторону этого многоугольника по формуле

радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр

из формулы (3) получаем соотношение

радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр

       Ответ.    радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр

       Следствие 3. Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду с высотой   h   и ребром основания   a,   равен

радиус сферы вписанной в правильную треугольную пирамиду

       Следствие 4. Радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром   a,   равен

радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр

       Следствие 5. Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду с высотой   h   и ребром основания   a,   равен

радиус сферы вписанной в правильную четырехугольную пирамиду

       Следствие 6. Радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду с высотой   h   и ребром основания   a,   равен

радиус сферы вписанной в правильную шестиугольную пирамиду

Сфера, вписанная в треугольную пирамиду.
Формула для радиуса вписанной сферы

       Утверждение 3. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

       Доказательство. Доказательство этого утверждения напоминает планиметрическое доказательство возможности вписать окружность в произвольный треугольник.

        Действительно, пусть   SABC  – произвольный тетраэдр. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром   AC   и биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром   AB  пересекаются по некоторой прямой, проходящей через вершину   A.  Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла в ребром   BC  пересекает эту прямую в единственной точке   O , которая и является центром вписанной сферы (рис. 8).

радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду

Рис.8

        Получим формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной в тетраэдр   SABC  сферы. Для этого заметим, что объем пирамиды   SABC  равен сумме объемов пирамид   OABC, OSCA, OSAB, OSCB,   причем высота каждой из пирамид   OABC, OSCA, OSAB, OSCB   равна радиусу   R   вписанной в пирамиду   SABC  сферы. Если обозначить площади граней тетраэдра   SABC   символами

  SABC , SASC , SASB , SBSC ,  

а объемы пирамид   SABC, OABC, OSCA, OSAB, OSCB    – символами

  VABC , V ASC , V ASB , V BSC ,  

то справедливы следующие равенства:

радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду

где символом   Sполн   обозначена площадь полной поверхности пирамиды     SABC.    

       Следовательно,

радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду

       Замечание 2. Если в пирамиду (необязательно треугольную) можно вписать сферу, то, рассуждая аналогично, можно получить следующую формулу для радиуса вписанной в пирамиду сферы

радиус сферы вписанной в пирамиду

где символами   Vпир   и   Sполн   обозначены объем и площадь полной поверхности пирамиды соответственно.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

биссекторная плоскость основное свойство биссекторной плоскости сфера вписанная в пирамиду свойства пирамиды описанной около сферы радиус сферы вписанной в правильную пирамиду радиус сферы вписанной в треугольную пирамиду радиус сферы вписанной в правильный тетраэдр индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


      Яндекс цитирования