Mосква, Северо-восток

Вероятность суммы двух событий. Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событийВероятность суммы двух событий
 несовместные событияНесовместные события
независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событийНезависимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий
вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

Вероятность суммы двух событий

      Пусть   A   и   B   – два произвольных события в случайном эксперименте с множеством элементарных исходов  Ω .

      Справедливо следующее утверждение.

      Утверждение 1. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

      Другими словами, верна формула:

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий(1)

      Доказательство. Рассмотрим диаграммы Эйлера – Венна для суммы двух событий и произведения двух событий, разместив их на одном рисунке (рис.1).

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событийвероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий
Событие   AСобытие   B
вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событийвероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий
Событие   A + BСобытие   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий

Рис.1

      Проведем доказательство утверждения 1 на примере геометрического определения вероятности.

      Если площадь произвольной фигуры   F   обозначить символом   S (F) ,   то из рисунка 1 легко установить справедливость равенства:

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий,(2)

которое словами можно выразить так: «Площадь фигуры   A + B   равна сумме площадей фигур   A   и   B   минус площадь фигуры  независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий».

      Если обе части равенства (2) разделить на число   S (Ω) ,   то мы получим равенство

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий  (3)

      В силу геометрического определения вероятности справедливы формулы

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий

с помощью которых равенство (3) преобразуется к виду (1), что и завершает доказательство утверждения 1.

      Доказательство утверждения 1 для классического определения вероятности проводится аналогичным образом, и мы оставляем его читателю в качестве полезного упражнения.

Несовместные события

      Определение. Два события   A   и   B   называют несовместными, если они не пересекаются.

      Другими словами, события   A   и   B   несовместны, если

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

      Замечание 1. События   A   и   B   несовместны в том, и только в том случае, если событие   B   является подмножеством события   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события,   то есть   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события .

      Замечание 2. События   A   и   B   несовместны в том, и только в том случае, если событие   A   является подмножеством события   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события,   то есть   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события .

      Замечание 3. Если события   A   и   B   несовместны, то вероятность их произведения равна нулю.

      Другими словами, для несовместных событий   A   и   B   верна формула

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

      Замечание 4. Если события   A   и   B   несовместны, то вероятность суммы событий   A + B   равна сумме вероятностей событий   A   и   B .

      Другими словами, для несовместных событий   A   и   B   верна формула

P (A + B) = P (A) + P (B)

Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий

     Два события   A   и   B   называют независимыми, если появление одного из этих событий никак не влияет на вероятность появления второго события.

      Замечание 5. Несовместные события и независимые события – это совершенно разные понятия, и их не следует путать.

      Справедливо следующее утверждение.

      Утверждение 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

      Другими словами, для двух независимых событий   A   и   B   верна формула

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события(4)

      Проиллюстрируем справедливость формулы (4) на примере.

      Пример 1. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Одна из игральных костей окрашена в синий цвет, другая – в красный. Найти вероятность того, что на синей игральной кости выпадет число   3 ,   а на красной игральной кости выпадет число   4 .

      Решение. Сформируем следующую таблицу, в которой записаны все   36   возможных вариантов пар чисел, выпадающих при подбрасывании двух игральных костей.

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события123456
11, 11, 21, 31, 41, 51, 6
22, 12, 22, 32, 42, 52, 6
33, 13, 23, 33, 43, 53, 6
44, 14, 24, 34, 44, 54, 6
55, 15, 25, 35, 45, 55, 6
66, 16, 26, 36, 46, 56, 6

      Благоприятным является только один исход, а именно, клетка с результатом   4, 3 ,   окрашенная в таблице желтым цветом. Следовательно, вероятность события, состоящего в том, что на синей игральной кости выпадает число   3 ,   а на красной игральной кости выпадает число   4 ,   равна  независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события.

      Теперь рассмотрим случайный эксперимент, описанный в примере 1, с другой стороны. Для этого обозначим буквой   A   случайное событие, состоящее в том, что на синей игральной кости выпадает число   3 ,   а буквой   B   - случайное событие, состоящее в том, что на красной игральной кости выпадает число   4 .   События   A   и   B   являются независимыми событиями, а их вероятности равны:

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

      Событие   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий   состоит в том, что на синей игральной кости выпадет число   3 ,   а на красной игральной кости выпадет число   4 .   Поскольку,

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

то в рассматриваемом случайном эксперименте по подбрасыванию двух игральных костей формула (4) верна.

      В заключение приведем ещё одну иллюстрацию применимости формулы для вероятности суммы двух событий и формулы для вероятности произведения двух независимых событий.

      Пример 2. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью   0,9 .   Второй стрелок поражает мишень с вероятностью   0,8 .   Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

      Решение. Обозначим буквой   A   случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает первый стрелок, а буквой   B   обозначим случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает второй стрелок. Тогда событие   A + B   означает, что мишень поражена, а событие   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий   означает, что в мишень попали оба стрелка. По условию

P (A) = 0,9   и   P (B) = 0,8  

а поскольку события   A   и   B   независимы, то в силу формулы (4)

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

      Воспользовавшись формулой (1), находим

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

      Ответ:   0,98  

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные событияподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные событияиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования