e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд




НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрии Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные событияТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события ОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события ОГЭ. Математика. 3000 задач с ответами. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Все задания части 1. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события Теория вероятностей и статистика вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события Теория вероятностей

Вероятность суммы двух событий. Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий Вероятность суммы двух событий
 несовместные события Несовместные события
независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

Вероятность суммы двух событий

      Пусть   A   и   B   – два произвольных события в случайном эксперименте с множеством элементарных исходов  Ω .

      Справедливо следующее утверждение.

      Утверждение 1. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

      Другими словами, верна формула:

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий (1)

      Доказательство. Рассмотрим диаграммы Эйлера – Венна для суммы двух событий и произведения двух событий, разместив их на одном рисунке (рис.1).

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий

Событие   A

Событие   B

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий

Событие   A + B

Событие   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий

Рис.1

      Проведем доказательство утверждения 1 на примере геометрического определения вероятности.

      Если площадь произвольной фигуры   F   обозначить символом   S (F) ,   то из рисунка 1 легко установить справедливость равенства:

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий, (2)

которое словами можно выразить так: «Площадь фигуры   A + B   равна сумме площадей фигур   A   и   B   минус площадь фигуры  независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий».

      Если обе части равенства (2) разделить на число   S (Ω) ,   то мы получим равенство

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий  (3)

      В силу геометрического определения вероятности справедливы формулы

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий,

с помощью которых равенство (3) преобразуется к виду (1), что и завершает доказательство утверждения 1.

      Доказательство утверждения 1 для классического определения вероятности проводится аналогичным образом, и мы оставляем его читателю в качестве полезного упражнения.

Несовместные события

      Определение. Два события   A   и   B   называют несовместными, если они не пересекаются.

      Другими словами, события   A   и   B   несовместны, если

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

      Замечание 1. События   A   и   B   несовместны в том, и только в том случае, если событие   B   является подмножеством события   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события,   то есть   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события .

      Замечание 2. События   A   и   B   несовместны в том, и только в том случае, если событие   A   является подмножеством события   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события,   то есть   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события .

      Замечание 3. Если события   A   и   B   несовместны, то вероятность их произведения равна нулю.

      Другими словами, для несовместных событий   A   и   B   верна формула

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

      Замечание 4. Если события   A   и   B   несовместны, то вероятность суммы событий   A + B   равна сумме вероятностей событий   A   и   B .

      Другими словами, для несовместных событий   A   и   B   верна формула

P (A + B) = P (A) + P (B)

Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий

     Два события   A   и   B   называют независимыми, если появление одного из этих событий никак не влияет на вероятность появления второго события.

      Замечание 5. Несовместные события и независимые события – это совершенно разные понятия, и их не следует путать.

      Справедливо следующее утверждение.

      Утверждение 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

      Другими словами, для двух независимых событий   A   и   B   верна формула

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события  (4)

      Проиллюстрируем справедливость формулы (4) на примере.

      Пример 1. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Одна из игральных костей окрашена в синий цвет, другая – в красный. Найти вероятность того, что на синей игральной кости выпадет число   3 ,   а на красной игральной кости выпадет число   4 .

      Решение. Сформируем следующую таблицу, в которой записаны все   36   возможных вариантов пар чисел, выпадающих при подбрасывании двух игральных костей. 

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события 1 2 3 4 5 6
1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6
2 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6
3 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6
4 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6
5 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6
6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6

      Благоприятным является только один исход, а именно, клетка с результатом   4, 3 ,   окрашенная в таблице желтым цветом. Следовательно, вероятность события, состоящего в том, что на синей игральной кости выпадает число   3 ,   а на красной игральной кости выпадает число   4 ,   равна  независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события.

      Теперь рассмотрим случайный эксперимент, описанный в примере 1, с другой стороны. Для этого обозначим буквой   A   случайное событие, состоящее в том, что на синей игральной кости выпадает число   3 ,   а буквой   B   - случайное событие, состоящее в том, что на красной игральной кости выпадает число   4 .   События   A   и   B   являются независимыми событиями, а их вероятности равны:

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

      Событие   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий   состоит в том, что на синей игральной кости выпадет число   3 ,   а на красной игральной кости выпадет число   4 .   Поскольку,

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

то в рассматриваемом случайном эксперименте по подбрасыванию двух игральных костей формула (4) верна.

      В заключение приведем ещё одну иллюстрацию применимости формулы для вероятности суммы двух событий и формулы для вероятности произведения двух независимых событий.

      Пример 2. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью   0,9 .   Второй стрелок поражает мишень с вероятностью   0,8 .   Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

      Решение. Обозначим буквой   A   случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает первый стрелок, а буквой   B   обозначим случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает второй стрелок. Тогда событие   A + B   означает, что мишень поражена, а событие   независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий   означает, что в мишень попали оба стрелка. По условию

P (A) = 0,9   и   P (B) = 0,8  

а поскольку события   A   и   B   независимы, то в силу формулы (4)

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

      Воспользовавшись формулой (1), находим

независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события

      Ответ:   0,98  

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

вероятность суммы двух событий вероятность объединения двух событий независимые события независимость двух событий вероятность произведения двух независимых событий несовместные события индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования