Mосква, Северо-восток
Справочник по математике Площадь треугольника вывод формул Геометрия (Планиметрия)

Площадь треугольника

Формулы для площади треугольника

      Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура

Рисунок

Формула площади

Обозначения

Произвольный треугольник

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a  – любая сторона, ha  – 

высота, опущенная на эту сторону

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a  и b  – две любые стороны, С  – угол между ними

Площадь треугольника

Вывод формулы Герона
Площадь треугольника формула Герона.

Посмотреть вывод формулы Герона

a, b, c  – стороны,
p  –  полупериметр, формулу называют «Формула Герона»

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a – любая сторона,
B, С  – прилежащие к ней углы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a, b, c  – стороны,
r  –  радиус вписанной окружности, p  –  полупериметр

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a, b, c  – стороны,
R –  радиус описанной окружности

Площадь треугольника

S = 2R2 sin A sin B sin C

Посмотреть вывод формулы

A, B, С  – углы,
R –  радиус описанной окружности

Равносторонний (правильный) треугольник

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего  правильного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a  – сторона

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего  правильного треугольника

Посмотреть вывод формулы

h  – высота

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

r – радиус вписанной окружности

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

R – радиус описанной окружности

Прямоугольный треугольник

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a  и b  – катеты

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a  –  катет,
φ – прилежащий острый угол

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a  –  катет,
φ  – противолежащий острый угол

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

c  –  гипотенуза,
φ  – любой из острых углов

Вывод формул для площади произвольного треугольника

      Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a  – любая сторона треугольника, а ha  –  высота, опущенная на эту сторону.

      Доказательство.  

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 1

Достроив треугольник ABC  до параллелограмма ABDC (рис. 1), получим

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a  и b  – две любые стороны треугольника, а С  – угол между ними.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 2

Поскольку

ha = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a – любая сторона треугольника,  а B, С  – прилежащие к ней углы.

      Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = ha ctg C ,       y = ha ctg B ,

то

a = x + y = ha ctg C + ha ctg B = ha ( ctg C + ctg B) .

      Следовательно,

Площадь треугольника вывод формул

      Поэтому

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a, b, c  – стороны треугольника, а   r  –  радиус вписанной окружности.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a, b, c  – стороны треугольника, а R –  радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

Площадь треугольника вывод формул.

      Следовательно,

Площадь треугольника вывод формул

      Поэтому

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A, B, С  – углы треугольника, а R –  радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Площадь треугольника

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

Площадь треугольника вывод формул.

      Поэтому

a = 2R sin A ,     b = 2R sin B ,     c = 2R sin C ,

      В силу утверждения 6

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

  1. Если a  – сторона равностороннего треугольника, то его площадь
  2. Формула площади равностороннего  правильного треугольника

  3. Если h  – высота равностороннего треугольника, то его площадь
  4. Формула площади равностороннего  правильного треугольника

  5. Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус вписанной окружности

  6. Если R – радиус описанной около равностороннего треугольника окружности, то его площадь
  7. Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 7.
  2. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 7

    В силу утверждения 2

    Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

  3. Рассмотрим рисунок 8.
  4. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 8

    Поскольку

    Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

    то

    Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

  5. Рассмотрим рисунок 9.
  6. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 9

    Поскольку у равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство   h = 3r.  Следовательно,

    Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

  7. Рассмотрим рисунок 10.
  8. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 10

    Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности   Следовательно,

    Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

          Доказательство утверждения 7 завершено.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

      Утверждение 8.

  1. Если a  и b  – катеты прямоугольного треугольника, то его площадь
  2. Формула площади прямоугольного треугольника

  3. Если a  – катет прямоугольного треугольника, а φ   – прилежащий к этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника
  4. Формула площади прямоугольного треугольника

  5. Если a  – катет прямоугольного треугольника, а φ   – противолежащий этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника
  6. Формула площади прямоугольного треугольника

  7. Формула площади прямоугольного треугольника

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 11.
  2. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 11

    В силу утверждения 2

    Формула площади прямоугольного треугольника

  3. Рассмотрим рисунок 12.
  4. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 12

    Поскольку

    b = a tg φ ,  

    то

    Формула площади прямоугольного треугольника

  5. Рассмотрим рисунок 13.
  6. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 13

    Поскольку

    b = a ctg φ ,  

    то

    Формула площади прямоугольного треугольника

  7. Рассмотрим рисунок 14.
  8. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 14

    Поскольку

    a = c cos φ ,     b = c sin φ ,  

    то

    Формула площади прямоугольного треугольника

          Доказательство утверждения 8 завершено.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Площадь треугольника вывод формул подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Площадь треугольника вывод формул индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по физике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ 2016 по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Площадь треугольника вывод формулЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формул Тренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формул ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формул ОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формул ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулОГЭ. Математика. 3000 задач с ответами. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Все задания части 1. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формул Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулОГЭ-2016. Математика. 36 вариантов. Типовые экзаменацион- ные варианты - Семенов А.Л.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по физике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ 2016 по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования