e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ (ГИА)
Демонстрационные варианты ЕГЭ


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрии Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ОГЭ (ГИА) по физике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) 2016 по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Площадь треугольника вывод формул ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формул Тренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формул ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формул ОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формул ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулОГЭ. Математика. 3000 задач с ответами. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Все задания части 1. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формул Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулОГЭ-2016. Математика. 36 вариантов. Типовые экзаменацион- ные варианты - Семенов А.Л.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площадь треугольника вывод формулЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru


ЕГЭ по физике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"



ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрии Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ОГЭ (ГИА) по физике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) 2016 по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Площадь треугольника вывод формул Геометрия (Планиметрия)

Площадь треугольника

Формулы для площади треугольника

      Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура

Рисунок

Формула площади

Обозначения

Произвольный треугольник

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a  – любая сторона, ha  – 

высота, опущенная на эту сторону

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a  и b  – две любые стороны, С  – угол между ними

Площадь треугольника

Вывод формулы Герона
Площадь треугольника формула Герона.

Посмотреть вывод формулы Герона

a, b, c  – стороны,
p  –  полупериметр, формулу называют «Формула Герона»

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a – любая сторона,
B, С  – прилежащие к ней углы

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a, b, c  – стороны,
r  –  радиус вписанной окружности, p  –  полупериметр

Площадь треугольника

Площадь треугольника вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a, b, c  – стороны,
R –  радиус описанной окружности

Площадь треугольника

S = 2R2 sin A sin B sin C

Посмотреть вывод формулы

A, B, С  – углы,
R –  радиус описанной окружности

Равносторонний (правильный) треугольник

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего  правильного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a  – сторона

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего  правильного треугольника

Посмотреть вывод формулы

h  – высота

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

r – радиус вписанной окружности

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

R – радиус описанной окружности

Прямоугольный треугольник

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a  и b  – катеты

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a  –  катет,
φ – прилежащий острый угол

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

a  –  катет,
φ  – противолежащий острый угол

Площадь прямоугольного треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника

Посмотреть вывод формулы

c  –  гипотенуза,
φ  – любой из острых углов

Вывод формул для площади произвольного треугольника

      Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a  – любая сторона треугольника, а ha  –  высота, опущенная на эту сторону.

      Доказательство.  

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 1

Достроив треугольник ABC  до параллелограмма ABDC (рис. 1), получим

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a  и b  – две любые стороны треугольника, а С  – угол между ними.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 2

Поскольку

ha = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a – любая сторона треугольника,  а B, С  – прилежащие к ней углы.

      Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = ha ctg C ,       y = ha ctg B ,

то

a = x + y = ha ctg C + ha ctg B = ha ( ctg C + ctg B) .

      Следовательно,

Площадь треугольника вывод формул

      Поэтому

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a, b, c  – стороны треугольника, а   r  –  радиус вписанной окружности.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

Площадь треугольника вывод формул

где a, b, c  – стороны треугольника, а R –  радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Площадь треугольника вывод формул

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

Площадь треугольника вывод формул.

      Следовательно,

Площадь треугольника вывод формул

      Поэтому

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A, B, С  – углы треугольника, а R –  радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Площадь треугольника

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

Площадь треугольника вывод формул.

      Поэтому

a = 2R sin A ,     b = 2R sin B ,     c = 2R sin C ,

      В силу утверждения 6

Площадь треугольника вывод формул

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

  1. Если a  – сторона равностороннего треугольника, то его площадь
  2. Формула площади равностороннего  правильного треугольника

  3. Если h  – высота равностороннего треугольника, то его площадь
  4. Формула площади равностороннего  правильного треугольника

  5. Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус вписанной окружности

  6. Если R – радиус описанной около равностороннего треугольника окружности, то его площадь
  7. Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 7.
  2. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 7

    В силу утверждения 2

    Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

  3. Рассмотрим рисунок 8.
  4. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 8

    Поскольку

    Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

    то

    Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

  5. Рассмотрим рисунок 9.
  6. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 9

    Поскольку у равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство   h = 3r.  Следовательно,

    Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

  7. Рассмотрим рисунок 10.
  8. Площадь равностороннего правильного треугольника

    Рис. 10

    Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности   Следовательно,

    Формула площади равностороннего  правильного треугольника через радиус описанной окружности

          Доказательство утверждения 7 завершено.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

      Утверждение 8.

  1. Если a  и b  – катеты прямоугольного треугольника, то его площадь
  2. Формула площади прямоугольного треугольника

  3. Если a  – катет прямоугольного треугольника, а φ   – прилежащий к этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника
  4. Формула площади прямоугольного треугольника

  5. Если a  – катет прямоугольного треугольника, а φ   – противолежащий этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника
  6. Формула площади прямоугольного треугольника

  7. Формула площади прямоугольного треугольника

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 11.
  2. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 11

    В силу утверждения 2

    Формула площади прямоугольного треугольника

  3. Рассмотрим рисунок 12.
  4. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 12

    Поскольку

    b = a tg φ ,  

    то

    Формула площади прямоугольного треугольника

  5. Рассмотрим рисунок 13.
  6. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 13

    Поскольку

    b = a ctg φ ,  

    то

    Формула площади прямоугольного треугольника

  7. Рассмотрим рисунок 14.
  8. Площадь прямоугольного треугольника

    Рис. 14

    Поскольку

    a = c cos φ ,     b = c sin φ ,  

    то

    Формула площади прямоугольного треугольника

          Доказательство утверждения 8 завершено.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Площадь треугольника вывод формул подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Площадь треугольника вывод формул индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования