e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ (ГИА) по физике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) 2016 по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул Тренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул ОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулОГЭ. Математика. 3000 задач с ответами. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Все задания части 1. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулОГЭ-2016. Математика. 36 вариантов. Типовые экзаменацион- ные варианты - Семенов А.Л.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"



ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул Геометрия (Планиметрия)

Площади четырехугольников

      В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

S = ab,

которая позволяет найти площадь прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

Четырехугольник

Рисунок

Формула площади

Обозначения

Прямоугольник

Площадь прямоугольника

S = ab

a и b – смежные стороны

Площадь прямоугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d –  диагональ,
φ  – любой из четырёх углов между диагоналями

Площадь прямоугольника

S = 2R2 sin φ

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R–  радиус описанной окружности,
φ
  – любой из четырёх углов между диагоналями

Параллелограмм

Площадь параллелограмма

S = a ha

Посмотреть вывод формулы

a  – сторона, ha  – 

высота, опущенная на эту сторону

Площадь параллелограмма

S = ab sin φ

Посмотреть вывод формулы

a и b – смежные стороны, φ  – угол между ними

Площадь параллелограмма

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1  и d2 – 

диагонали,
φ  – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

Площадь квадрата

S = a2

a  – сторона квадрата

Площадь квадрата

S = 4r2

r – радиус вписанной окружности

Площадь квадрата

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d диагональ квадрата

Площадь квадрата

S = 2R2

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

R – радиус описанной окружности

Ромб

Площадь ромба

S = a ha

Посмотреть вывод формулы

a  – сторона, ha  – 

высота, опущенная на эту сторону

Площадь ромба

S = a2 sin φ

Посмотреть вывод формулы

a   – сторона,
φ
  – любой из четырёх углов ромба

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1  и d2 – 

диагонали

Площадь ромба

S = 2ar

Посмотреть вывод формулы

a  – сторона,
r –  радиус вписанной окружности

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

r –  радиус вписанной окружности
φ  – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a и b – основания, h  –  высота

Площадь трапеции

S = m h

m  – средняя линия, h  –  высота

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1  и d2 – 

диагонали,
φ  – любой из четырёх углов между ними

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a и b – основания, c и d  –  боковые стороны

Дельтоид

 

 

 

Площадь дельтоида

S = ab sin φ

a и b – неравные  стороны, φ  – угол между ними

Площадь дельтоида

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

a и b – неравные  стороны,
φ1
 – угол между

сторонами, равными a ,
φ2 – угол между

сторонами, равными b.

Площадь дельтоида

S = (a + b) r

Посмотреть вывод формулы

a и b – неравные стороны,
r –  радиус вписанной окружности

Площадь дельтоида

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1  и d2 – 

диагонали

Произвольный выпуклый четырёхугольник

Площадь выпуклого четырехугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

 d1  и d2 – 

диагонали,

φ  – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты,
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

a, b, c, d  –  длины сторон четырёхугольника, p  – полупериметр, формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

      Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где  d1  и d2 –  диагонали четырёхугольника, а φ   – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 1

      Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь параллелограмма можно найти по формуле

S = a ha ,

где a  – сторона параллелограмма, а ha –  высота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 2

      Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

SABCD = SAEFD = a ha ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3.Площадь параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма,  а φ – угол между ними (рис. 3).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 3

      Доказательство. Поскольку

ha = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a ha = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь ромба можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул,

где r –  радиус вписанной в ромб окружности,  а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 4

      Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул,

где a и b – основания трапеции, а h  –  высота  (рис.5).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 5

      Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь трапеции можно найти по формуле

     Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул,

где a и b – основания, а c и d  –  боковые стороны трапеции  (рис.6).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 6

      Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

      Следовательно,

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 7. Площадь дельтоида можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r –  радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 7

      Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали  BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

      Если r –  радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


      Яндекс цитирования