Mосква, Северо-восток

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия вписанные четырехугольники свойстваВписанные четырехугольники и их свойства
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия теорема ПтолемеяТеорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

      Определение 1. Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником.

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Рис.1

      Теорема 1. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.

      Доказательство. Угол  ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC. Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC. Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC. Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.

      Если рассмотреть углы BCD и BAD, то рассуждение будет аналогичным.

      Теорема 1 доказана.

      Теорема 2 (Обратная  к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

      Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A, B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Рис.2

      Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E, и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180°. При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC. Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC, не смежного с ним.

      Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

      Теорема 2 доказана.

      Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Окружность, описанная около параллелограмма
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Окружность, описанная около параллелограмма
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромба
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Теорема Птолемея

      Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис.3).

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Рис.3

      Докажем, что справедливо равенство:

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

      Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Рис.4

      Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

откуда вытекает равенство:

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея(1)

      Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

откуда вытекает равенство:

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея(2)

      Складывая равенства (1) и (2), получаем:

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

      Теорема Птолемея доказана.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Вписанные четырехугольники свойства теорема Птолемея доказательстваподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Вписанные четырехугольники свойства теорема Птолемея доказательстваиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования