Mосква, Северо-восток

Вывод формулы Герона и формулы Брахмагупты

площадь треугольника формула Герона вывод формулы ГеронаВывод формулы Герона
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы БрахмагуптыВывод формулы Брахмагупты
площадь треугольника формула Герона площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Герона вывод формулы Брахмагупты

Вывод формулы Герона

      Утверждение 1. Площадь произвольного треугольника можно найти по формуле Герона:

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

где   a , b , c   – длины сторон треугольника, а   p   – полупериметр треугольника, т.е.

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона.

      Доказательство.

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

Рис.1

      Поскольку (рис.1)

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

то

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона
площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получаем:

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона
площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

      Следовательно,

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона
площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона
площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

      Таким образом,

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

что и требовалось доказать.

Вывод формулы Брахмагупты

      Утверждение 2. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно найти по формуле Брахмагупты:

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

где   a , b , c , d   – длины сторон четырёхугольника, а   p   – полупериметр, т.е.

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

      Доказательство.

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

Рис.2

      Если угол   D   четырёхугольника   ABCD   обозначить буквой   φ   (рис.2), то, поскольку сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна   π ,   угол   B   будет равен   π – φ .   По этой причине

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

      Следовательно,

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

      Применяя теорему косинусов к треугольнику   ACD ,   получаем:

AC 2 = a2 + b2 – 2bc cos φ .

      Применяя теорему косинусов к треугольнику   ABC ,   получаем:

AC 2 =
=
c2 + d 2 – 2cd cos (π – φ) =
=
c2 + d 2 + 2cd cos φ .

      Следовательно,

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

где буквами   A   и   B   обозначены выражения

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

      Поэтому

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

Преобразуем каждую скобку

B + A = 2 (ab +cd) +
+ a2 + b2c2d2 =
= a2 + 2ab + b2
– (c2 – 2cd + d2) =
= (a + b)2 – (c – d)2 =
= (a + b + c – d)
(a + b – c + d) =
= (2p – 2d)(2p – 2c) =
= 4(pd)(pc) ;

B – A = 2 (ab +cd) –
– (a2 + b2c2d2) =
= – (a2 – 2ab + b2) +
+ (c2 + 2cd + d2) =
= (c + d)2 – (a – b)2 =
= (c + d + a – b)
(c + d – a + b) =
= (2p – 2b)(2p – 2a) =
= 4(pb)(pa) .

Буквой   p   здесь обозначен полупериметр четырехугольника   ABCD

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

Подставляя преобразованные выражения в формулу для   S2 , получаем

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

      Таким образом,

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

площадь треугольника формула Герона площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Герона вывод формулы Брахмагуптыподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

площадь треугольника формула Герона площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Герона вывод формулы Брахмагуптыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика