Справочник по математике

Элементы математического анализа

Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной

Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции

Касательная к графику функции

Производная функции

Уравнение касательной к графику функции

Геометрический смысл производной

Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции

      Рассмотрим график некоторой функции   y = f (x),   точки   A= (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))   на графике, прямую, проходящую через точки   A   и   B,   и произвольную точку   C= (x; y)   на этой прямой (рис. 1).

Рис.1

      Определение 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.

      В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки   A   и   B   графика функции   y = f (x),   является секущей этого графика.

      Выведем уравнение секущей графика функции.

      Для этого рассмотрим векторы и , координаты которых имеют вид:

      Поскольку векторы и лежат на одной прямой, то справедливо равенство

(1)

где   k   – некоторое число.

      Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

(2)

      Исключая из системы (2) переменную   k ,  получим систему (3):

(3)

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

(4)

      Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки  A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))   этого графика.

Касательная к графику функции

      Проведем секущую графика функции   y = f (x),   проходящую через точки   A   и   B   этого графика, и рассмотрим случай, когда точка   A   неподвижна, а точка   B   неограниченно приближается к точке   A   по графику функции   y = f (x)   (рис. 2).

Рис.2

      Неограниченное приближение точки   B   к точке   A   принято обозначать

B → A

и произносить   «B   стремится к   A».  

     Заметим, что, если   B → A   для точек  A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))  графика функции 
y = f (x),   то это означает, что   x₁ → x₀ .  

      Определение 2. Если при   x₁ → x₀   существует предельное положение секущей графика фукнкции   y = f (x),  то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции   y = f (x)  в точке   A = (x₀;  f (x₀))  (рис. 3) .

Рис.3

Производная функции

      Определение 3. Если при   x₁ → x₀   отношение

,

(5)

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции   y = f (x) в точке  x₀ ,   обозначают   f′(x₀)   или и записывают так:

(6)

Уравнение касательной к графику функции

      Из формул (4) и (6) вытекает следующее

      Утверждение. Если у функции   y = f (x)   существует производная в точке   x₀ ,   то к графику функции   y = f (x)   в точке с координатами  (x₀;  f (x₀))  можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

y = f′(x0) (x – x0) + f (x0)

(7)

Геометрический смысл производной

      Рассмотрим сначала возрастающую функцию   y = f (x)   и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки  A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))  (рис. 4).

Рис.4

      Обозначим буквой   φ   угол, образованный секущей и положительным направлением оси   Ox,   отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол   BAD   в треугольнике   ABD   на рисунке 4 равен   φ ,   и по определению тангенса угла получаем равенство

,

(8)

причем по определению углового коэффициента прямой   tg φ  является угловым коэффициентом секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки  A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))   этого графика.

      Случай, когда функция   y = f (x)   убывает, изображен на рисунке 5

Рис.5

      В этом случае угол   φ  является тупым, причем

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция   y = f (x)   убывает.

      Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

где буквой   α   обозначен угол, образованный касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x₀;  f (x₀))   с положительным направлением оси   Ox   (рис. 6).

Рис.6

      Таким образом, если у функции   y = f (x)   в точке   x₀   существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   (x₀;  f (x₀)) :

f′(x₀) = tg α ,

где угол наклона   α   образован касательной и положительным направлением оси   Ox   и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

 

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».        Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"