Mосква, Северо-восток

Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной

секущая графика функции уравнение секущейСекущая графика функции. Уравнение секущей графика функции
Касательная к графику функцииКасательная к графику функции
Производная функцииПроизводная функции
Уравнение касательной к графику функцииУравнение касательной к графику функции
Геометрический смысл производнойГеометрический смысл производной
секущая графика функции уравнение секущей касательная к графику функции уравнение касательной производная функции геометрический смысл производной тангенс угла наклона касательной

Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции

      Рассмотрим график некоторой функции   y = f (x),   точки   A= (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   на графике, прямую, проходящую через точки   A   и   B,   и произвольную точку   C = (x; y)   на этой прямой (рис. 1).

секущая графика функции уравнение секущей
секущая графика функции уравнение секущей

Рис.1

      Определение 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.

      В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки   A   и   B   графика функции   y = f (x),   является секущей этого графика.

      Выведем уравнение секущей графика функции.

      Для этого рассмотрим векторы секущая графика функции уравнение секущей и секущая графика функции уравнение секущей, координаты которых имеют вид:

секущая графика функции уравнение секущей

      Поскольку векторы секущая графика функции уравнение секущей и секущая графика функции уравнение секущей лежат на одной прямой, то справедливо равенство

секущая графика функции уравнение секущей(1)

где   k   – некоторое число.

      Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

секущая графика функции уравнение секущей(2)

      Исключая из системы (2) переменную   k ,  получим систему (3):

секущая графика функции уравнение секущей(3)

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

секущая графика функции уравнение секущей(4)

      Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

Касательная к графику функции

      Проведем секущую графика функции   y = f (x),   проходящую через точки   A   и   B   этого графика, и рассмотрим случай, когда точка   A   неподвижна, а точка   B   неограниченно приближается к точке   A   по графику функции   y = f (x)   (рис. 2).

Касательная к графику функции
Касательная к графику функции

Рис.2

      Неограниченное приближение точки   B   к точке   A   принято обозначать

BA

и произносить   «B   стремится к   A».

      Заметим, что, если   B → A   для точек   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))  графика функции  y = f (x),   то это означает, что   x1 → x0 .

      Определение 2. Если при   x1 → x0   существует предельное положение секущей графика фукнкции   y = f (x),   то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))  (рис. 3) .

Касательная к графику функции
Касательная к графику функции

Рис.3

Производная функции

      Определение 3. Если при   x1 → x0   отношение

Производная функции(5)

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции   y = f (x) в точке   x0 ,   обозначают   f′(x0)   или Производная функциии записывают так:

Производная функции(6)

Уравнение касательной к графику функции

      Из формул (4) и (6) вытекает следующее

      Утверждение. Если у функции   y = f (x)   существует производная в точке   x0 ,   то к графику функции   y = f (x)   в точке с координатами  (x0;  f (x0))   можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

y = f′(x0) (x – x0) + f (x0)(7)

Геометрический смысл производной

      Рассмотрим сначала возрастающую функцию   y = f (x)   и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1)) (рис. 4).

Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной

Рис.4

      Обозначим буквой   φ   угол, образованный секущей и положительным направлением оси   Ox,   отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол   BAD   в треугольнике   ABD   на рисунке 4 равен   φ ,   и по определению тангенса угла получаем равенство

Геометрический смысл производной(8)

причем по определению углового коэффициента прямой   tg φ   является угловым коэффициентом секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

      Случай, когда функция   y = f (x)   убывает, изображен на рисунке 5

Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной

Рис.5

      В этом случае угол   φ  является тупым, причем

Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция   y = f (x)   убывает.

      Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной

где буквой   α   обозначен угол, образованный касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))   с положительным направлением оси   Ox   (рис. 6).

Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной

Рис.6

      Таким образом, если у функции   y = f (x)   в точке   x0   существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   (x0;  f (x0)) :

f′(x0) = tg α ,

где угол наклона   α   образован касательной и положительным направлением оси   Ox   и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

секущая графика функции уравнение секущей касательная к графику функции уравнение касательной производная функции геометрический смысл производной тангенс угла наклона касательнойподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

секущая графика функции уравнение секущей касательная к графику функции уравнение касательной производная функции геометрический смысл производной тангенс угла наклона касательнойиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования