Справочник по математикесекущая графика функции уравнение секущей касательная к графику функции уравнение касательной производная функции геометрический смысл производной тангенс угла наклона касательнойЭлементы математического анализасекущая графика функции уравнение секущей касательная к графику функции уравнение касательной производная функции геометрический смысл производной тангенс угла наклона касательной Производная функции

 

Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной

Содержание

секущая графика функции уравнение секущей Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции
Касательная к графику функции Касательная к графику функции
Производная функции Производная функции
Уравнение касательной к графику функции Уравнение касательной к графику функции
Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной
 

секущая графика функции уравнение секущей касательная к графику функции уравнение касательной производная функции геометрический смысл производной тангенс угла наклона касательной

Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции

Рассмотрим график некоторой функции   y = f (x),   точки   A= (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   на графике, прямую, проходящую через точки   A   и   B,   и произвольную точку   C = (x; y)   на этой прямой (рис. 1).

секущая графика функции уравнение секущей

Рис.1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.

В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки   A   и   B   графика функции   y = f (x),   является секущей этого графика.

Выведем уравнение секущей графика функции.

Для этого рассмотрим векторы секущая графика функции уравнение секущей и секущая графика функции уравнение секущей, координаты которых имеют вид:

секущая графика функции уравнение секущей

Поскольку векторы секущая графика функции уравнение секущей и секущая графика функции уравнение секущей лежат на одной прямой, то справедливо равенство

секущая графика функции уравнение секущей (1)

где   k   – некоторое число.

Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

секущая графика функции уравнение секущей (2)

Исключая из системы (2) переменную   k ,  получим систему (3):

секущая графика функции уравнение секущей (3)

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

секущая графика функции уравнение секущей (4)

Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

Касательная к графику функции

Проведем секущую графика функции   y = f (x),   проходящую через точки   A   и   B   этого графика, и рассмотрим случай, когда точка   A   неподвижна, а точка   B   неограниченно приближается к точке   A   по графику функции   y = f (x)   (рис. 2).

Касательная к графику функции

Рис.2

Неограниченное приближение точки   B   к точке   A   принято обозначать

BA

и произносить   «B   стремится к   A».

Заметим, что, если   B → A   для точек   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))  графика функции  y = f (x),   то это означает, что   x1 → x0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если при   x1 → x0   существует предельное положение секущей графика функции   y = f (x),   то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))  (рис. 3) .

Касательная к графику функции

Рис.3

Производная функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если при   x1 → x0   отношение

Производная функции (5)

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции   y = f (x) в точке   x0 ,   обозначают   f ′(x0)   или

Производная функции

и записывают так:

Производная функции (6)

Уравнение касательной к графику функции

Из формул (4) и (6) вытекает следующее

УТВЕРЖДЕНИЕ. Если у функции   y = f (x)   существует производная в точке   x0 ,   то к графику функции   y = f (x)   в точке с координатами  (x0;  f (x0))   можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

y = f′(x0) (x – x0) + f (x0) (7)

Геометрический смысл производной

Рассмотрим сначала возрастающую функцию   y = f (x)   и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1)) (рис. 4).

Геометрический смысл производной

Рис.4

Обозначим буквой   φ   угол, образованный секущей и положительным направлением оси   Ox,   отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол   BAD   в треугольнике   ABD   на рисунке 4 равен   φ ,   и по определению тангенса угла получаем равенство

Геометрический смысл производной (8)

причем по определению углового коэффициента прямой   tg φ   является угловым коэффициентом секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

Случай, когда функция   y = f (x)   убывает, изображен на рисунке 5

Геометрический смысл производной

Рис.5

В этом случае угол   φ  является тупым, причем

Геометрический смысл производной

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция   y = f (x)   убывает.

Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

Геометрический смысл производной

где буквой   α   обозначен угол, образованный касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))   с положительным направлением оси   Ox   (рис. 6).

Геометрический смысл производной

Рис.6

Таким образом, если у функции   y = f (x)   в точке   x0   существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   (x0;  f (x0)) :

f′(x0) = tg α ,

где угол наклона   α   образован касательной и положительным направлением оси   Ox   и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

Близкие по тематике разделы сайта

С материалами, связанными с дифференцированием функций и применением производных к исследованию поведения функций, можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

Исследование функций с помощью производных и примеры построения графиков функций можно посмотреть в учебных пособиях:

на странице  «Учебные материалы по математическому анализу для студентов МФТИ (1 курс, 1 семестр)».

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика