e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки школьников к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки школьников к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточоые условия точки перегиба ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточоые условия точки перегибаТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточоые условия точки перегиба ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточоые условия точки перегибаГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточоые условия точки перегиба ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточоые условия точки перегиба Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточоые условия точки перегибаЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточоые условия точки перегибаПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточоые условия точки перегиба Элементы математического анализа

Исследование функции на выпуклость вверх и выпуклость вниз
с помощью второй производной

выпуклые вверх функции Выпуклые вверх функции
выпуклые вниз функции Выпуклые вниз функции
вторая производная функции Вторая производная функции
достаточные условия выпуклости вверх выпуклости вниз Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции
точки перегиба Точки перегиба
необходимое условие точки перегиба Необходимые условия для существования точки перегиба
достаточные условия точки перегиба Достаточные условия для существования точки перегиба

выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточные условия точки перегиба

Выпуклые вверх функции

      Определение 1. Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вверх на интервале   (a, b),  если для любых двух точек выпуклые вверх функции таких, что   x1 < x2 ,   график функции   y = f (x)   расположен выше отрезка, соединяющего точки   A1 = (x1f (x1))   и   A2 = (x2f (x2)) .

      Функция, график которой изображен на рисунке 1, выпукла вверх на интервале   (a, b) .

выпуклые вверх функции

Рис.1

      Пример 1. Примером функции, выпуклой вверх на выпуклые вверх функции, является функция   y = – x2   (рис. 2).

выпуклые вверх функции

Рис.2

Выпуклые вниз функции

      Определение 2. Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вниз на интервале   (a, b),  если для любых двух точек выпуклые вниз функции таких, что   x1 < x2 ,   график функции   y = f (x)   расположен ниже отрезка, соединяющего точки   A1 = (x1f (x1))   и   A2 = (x2f (x2)) .

      Функция, график которой изображен на рисунке 3, выпукла вниз на интервале   (a, b) .

выпуклые вниз функции

Рис.3

      Пример 2. Примером функции, выпуклой вниз на выпуклые вниз функции, является функция   y = x2   (рис. 4).

выпуклые вниз функции

Рис.4

Вторая производная функции

      Определение 3. Если у функции   y = f (x)   существует производная в некоторой точке   x0 ,   то эту производную часто называют первой производной или производной первого порядка функции   y = f (x)  в точке   x0 .

      Пусть у функции   y = f (x)   существует производная во всех точках вторая производная функции. Тогда, вычисляя в каждой точке вторая производная функциипроизводную   f ' (x),   мы получим функцию   y = f ' (x).   Если у функции   y = f ' (x)   существует производная в некоторой точке   x0   интервала   (a, b),   то эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции   y = f (x)  в точке   x0 .

      Для производной второго порядка   y = f (x)   используются обозначения:

вторая производная функции

      Например,

вторая производная функции

      Точно так же, как это было сделано при определении второй производной функции   f (x),   можно определить и производные более высоких порядков: третью производную, четвертую производную и т.д. (конечно же, при условии, что они существуют).

Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции

      При исследовании направления выпуклости функции (выпуклость вверх или выпуклость вниз) важную роль играет вторая производная этой функции.

      Утверждение 1. Если функция   f (x)   имеет на интервале   (a, b)   вторую производную, причем для всех достаточные условия выпуклости вверх выпуклости внизвыполнено условие

f '' (x) > 0 ,

то функция   f (x)   выпукла вниз на интервале   (a, b).

      Утверждение 2. Если функция   f (x)   имеет на интервале   (a, b)   вторую производную, причем для всех достаточные условия выпуклости вверх выпуклости внизвыполнено условие

f '' (x) < 0 ,

то функция   f (x)   выпукла вверх на интервале   (a, b).

      Доказательства утверждений 1 и 2 выходят за рамки школьного курса математики и здесь не приводятся.

      Пример 3. Функция   y = ln x   на интервале достаточные условия выпуклости вверх выпуклости внизудовлетворяет условию

достаточные условия выпуклости вверх выпуклости вниз

      В силу утверждения 2 отсюда следует, что функция   y = ln x   выпукла вверх (рис. 5) на всей своей области определения достаточные условия выпуклости вверх выпуклости вниз.

достаточные условия выпуклости вверх

Рис.5

      Пример 4. Функция   y = e x   на интервале достаточные условия выпуклости вверх выпуклости внизудовлетворяет условию

достаточные условия выпуклости вверх выпуклости вниз

и, в силу утверждения 1, функция   y = e x   выпукла вниз (рис. 6) на всей своей области определения достаточные условия выпуклости вверх выпуклости вниз.

достаточные условия выпуклости вниз

Рис.6

Точки перегиба

      Определение 4. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x0 .   Говорят, что при переходе через точку   x0   функция   f (x)   меняет направление выпуклости, если на одном из интервалов

(a, x0)   и   (x0, b)

функция выпукла вверх, а на другом – выпукла вниз.

      Определение 5. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x0 , а у графика функции   в точке   (x0f (x0))   существует касательная. Если функция   f (x)   при переходе через точку   x0   меняет направление выпуклости, то точку   x0   называют точкой перегиба функции   f (x) .

      Замечание 1 . Если   x0   – точка перегиба функции   y = f (x),   то график функции   y = f (x)   при переходе через точку   x0   переходит с одной стороны от касательной в точке   (x0f (x0))   на другую сторону от касательной, то есть  «перегибается» через касательную.

      Пример 5. Рассмотрим функцию   y = x3,   график которой изображен на рисунке 7.

точка перегиба

Рис.7

      Поскольку

y (0) = 0,   y' (0) = 0,

то прямая   y = 0   (ось абсцисс   Ox )   является касательной к графику функции   y = x3   в точке   (0; 0).

      Кроме того,

точка перегиба

      Поэтому   y" > 0   при   x > 0   и   y" < 0   при   x < 0 .   Таким образом, функция   y = x3   выпукла вверх при   x < 0   и выпукла вниз при   x > 0 ,   и точка   x = 0   является точкой перегиба графика функции   y = x3.   График функции   y = x3   при переходе через точку   x = 0   переходит из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость, то есть «перегибается» через касательную   y = 0 .  

Необходимые условия для существования точки перегиба

      Утверждение 3. Если точка   x0   является точкой перегиба графика функции   f (x),   то в точке   x0   либо вторая производная   f '' (x) = 0 ,   либо   f '' (x)   не существует.

      Замечание 2. Условия существования точки перегиба, сформулированные в утверждении 3, являются необходимыми, но не являются достаточными.

      Действительно, рассмотрим функцию   y = x4,   график которой изображен на рисунке 8.

точки перегиба

Рис.8

      Вычисляя вторую производную этой функции

необходимое условие точки перегиба

замечаем, что   y '' (0) = 0 ,   однако точка   x = 0   не является точкой перегиба графика функции   y = x4,   так как функция   y = x4  выпукла вниз, как при   x < 0 ,   так и при   x > 0 .

Достаточные условия для существования точки перегиба

      Утверждение 4. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x0 , имеет первую производную в каждой точке интервала   (a, b)   и имеет вторую производную в каждой точке интервала   (a, b)   за исключением, быть может, самой точки   x0 .  

     Если для точек достаточные условия точки перегибавыполнено условие:

f '' (x) > 0   при   x < x0   и   f '' (x) < 0   при   x > x0 ,

либо выполнено условие:

f '' (x) < 0   при   x < x0   и   f '' (x) > 0   при   x > x0 ,

то точка   x0   является точкой перегиба графика функции   f (x).

     Другими словами, точка   x0   является точкой перегиба графика функции   f (x),  если при переходе через точку   x0  вторая производная функции меняет свой знак.

      Пример 6. Найти интервалы, на которых функция

y (x) = x4 – 6x3 + 12x2

выпукла вверх , а также интервалы, на которых эта функция выпукла вниз. Определить точки перегиба.

      Решение. Вычислим вторую производную функции:

y' (x) = 4x3 – 18x2 + 24x ,

y'' (x) = 12x2 – 36x + 24 = 12(x2 – 3x + 2) = 12(x – 1) (x – 2) .

      Отсюда вытекает, что вторая производная существует во всех точках достаточные условия точки перегиба и обращается в нуль в точках   x = 1   и   x = 2 .   Воспользуемся методом интервалов и изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной   y" (x)

достаточные условия точки перегиба

Рис.9

      При переходе через точку   x = 1   вторая производная функции   y" (x)   меняет знак с   «+»   на   «–» . Следовательно,   x = 1   – точка перегиба графика функции.

      При переходе через точку   x = 2   вторая производная функции   y" (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = 2   также является точкой перегиба графика функции.

      При достаточные условия точки перегиба и при достаточные условия точки перегиба вторая производная функции   y" (x) > 0,   следовательно, функция   y (x)  выпукла вниз на этих интервалах.

      При достаточные условия точки перегиба вторая производная функции   y" (x) < 0,   следовательно, функция   y (x)   выпукла вверх на интервале   (1, 2) .

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточоые условия точки перегиба подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточоые условия точки перегиба индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования