Mосква, Северо-восток

Пределы числовых последовательностей

предел числовой последовательности определениеПредел числовой последовательности
свойства пределов числовых последовательностейСвойства пределов числовых последовательностей
предел числовой последовательности вывод формулы членов суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессииВывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределовПримеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей
второй замечательный предел число eЧисло e. Второй замечательный предел
предел числовой последовательности свойства пределов числовых последовательностей раскрытие неопределенностей второй замечательный предел число e вывод формулы членов суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии примеры вычисления пределов числовых последовательностей

Предел числовой последовательности

      Определение 1. Число   a   называют пределом числовой последовательности

a1 ,  a2 , … an , …

если для любого положительного числа   ε   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| an – a | < ε .

      Условие того, что число   a   является пределом числовой последовательности

a1 ,  a2 , … an , … ,

записывают с помощью обозначения

предел числовой последовательности определение

и произносят так: «Предел   an   при   n ,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».

      То же самое соотношение можно записать следующим образом:

ana   при предел числовой последовательности определение.

Словами это произносится так: «an   стремится к   a   при   n ,   стремящемся к бесконечности».

      Замечание. Если для последовательности

a1 ,  a2 , … an , …

найдется такое число   a ,   что   ana   при предел числовой последовательности определение, то эта последовательность ограничена.

      Определение 2. Говорят, что последовательность

a1 ,  a2 , … an , …

стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство

| an| > C .

      Условие того, что числовая последовательность

a1 ,  a2 , … an , … ,

стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

предел числовой последовательности определение

или с помощью обозначения

предел числовой последовательности определение при предел числовой последовательности определение.

      Пример 1. Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

предел числовой последовательности

      Пример 2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство

предел числовой последовательности

      Пример 3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство

предел числовой последовательности

      Пример 4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство

предел числовой последовательности

      Пример 5 . Последовательность

– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,

заданная с помощью формулы общего члена

an = (– 1)n ,

предела не имеет.

Свойства пределов числовых последовательностей

      Рассмотрим две последовательности

a1 ,  a2 , … an , … ,   и   b b, … bn , … .

Если при свойства пределов числовых последовательностей существуют такие числа   a   и   b ,  что

свойства пределов числовых последовательностей   и   свойства пределов числовых последовательностей,

то при свойства пределов числовых последовательностей существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

свойства пределов числовых последовательностейсвойства пределов числовых последовательностей
свойства пределов числовых последовательностейсвойства пределов числовых последовательностей
свойства пределов числовых последовательностейсвойства пределов числовых последовательностей

      Если, кроме того, выполнено условие

свойства пределов числовых последовательностей

то при свойства пределов числовых последовательностей существует предел дроби

свойства пределов числовых последовательностей

причем

свойства пределов числовых последовательностейсвойства пределов числовых последовательностей

      Для любой непрерывной функции   f (x)   справедливо равенство

свойства пределов числовых последовательностейсвойства пределов числовых последовательностей

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

      Рассмотрим геометрическую прогрессию

b1 ,  b2 , … bn , … ,

знаменатель которой равен   q .  

      Для суммы первых   n   членов геометрической прогрессии

Sn = b1 + b2 + … + bn  ,       n = 1, 2, 3, …

справедлива формула

предел числовой последовательности вывод формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

      Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

S = b1 + b2 + … + bn + … ,

то будет справедлива формула

предел числовой последовательности вывод формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

      В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель   q   удовлетворяет неравенству

| q | < 1 ,

поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем

предел числовой последовательности вывод формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
предел числовой последовательности вывод формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

      Итак,

предел числовой последовательности вывод формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

      Определение 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся кпредел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов.

      Часто неопределенность типа предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределовудается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

      Пример 6. Найти предел последовательности

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 3, получаем

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов
предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Ответ. предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Пример 7 . Найти предел последовательности

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Решение. Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов
предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Ответ. предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типапредел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов.

      Пример 8 . Найти предел последовательности

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов
предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов
предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Ответ. предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Пример 9. Найти предел последовательности

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Решение. В рассматриваемом примере неопределенность типа предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится кпредел числовой последовательности предел функции раскрытие неопределенностей первый замечательный предел. Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов
предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов
предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Ответ. предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Пример 10. Найти предел последовательности

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Решение. Замечая, что для всех   k = 2, 3, 4, …   выполнено равенство

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов ,

получаем

предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов
предел числовой последовательности раскрытие неопределенностей примеры вычисления пределов

      Ответ.   1 .

Число e. Второй замечательный предел

      Рассмотрим последовательность

второй замечательный предел число e(1)

      В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой   e.

      Таким образом, справедливо равенство

второй замечательный предел число e(2)

причем расчеты показывают, что число

e = 2,718281828459045…

и является иррациональным и трансцендентным числом.

      Число   e   играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

y = e x,

которую называют «экспонента».

      Число   e   также является пределом последовательности

второй замечательный предел число e(3)

что позволяет вычислять число   e   с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

      Замечание. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа второй замечательный предел число e, называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производнойподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производнойиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования