e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки школьников к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задачТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задачГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задачЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задачПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задачЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задачЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач ЕГЭ супертренинг. Математика. Тематические тренировочные задания. Уровень В, С. - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задание C3. Решение неравенств с одной переменной - Прокофьев А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru


НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач Элементы математического анализа

Определенный интеграл. Теорема Ньютона - Лейбница

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции
Производная от определенного интеграла по верхнему пределу Производная от определенного интеграла по верхнему пределу
определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница Теорема Ньютона - Лейбница
определенный интеграл примеры решения задач Примеры решения задач

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

      Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат   Oty ,   ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать   Ot ,   а не   Ox   (рис. 1).

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования

Рис.1

      Пусть   y = f (t)   – непрерывная на отрезке   [a, b]  функция, принимающая только положительные значения.

      Определение 1. Фигуру, ограниченную графиком функции   y = f (t)   сверху, отрезком   [a, b]  снизу, а справа и слева отрезками прямых   t = a   и   t = b   (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования

Рис.2

      Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции   f (t)   в пределах от   a   до   b   и обозначают

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования (1)

      Формула (1) читается так: «Интеграл от   a   до   b   от функции   f (t)   по   dt»

      Определение 3. В формуле (1) функцию   f (t)   называют подынтегральной функцией, переменную   t   называют переменной интегрирования, отрезок   [a, b]  называют отрезком интегрирования, число   b   называют верхним пределом интегрирования, а число   a   – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

      Если обозначить   S (x)   площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых   t = a   и   t = x   (рис. 3),

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Рис.3

то будет справедлива формула

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу (2)

      Теорема 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

      Другими словами, справедлива формула

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

      Доказательство. Из формулы (2) следует, что

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу (3)

где через  Δx  обозначено приращение аргумента   x   (рис. 4)

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Рис.4

      Из формул (3) и (2) получаем, что

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу (4)

где через  ΔS  обозначено приращение функции   S (x),   соответствующее приращению аргумента   Δx   (рис. 5)

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Рис.5

      Если ввести обозначения

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу, (5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx  и высотой   m,   и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx  и высотой   M.  

      Из неравенства (5) следует, что

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу,

откуда, переходя к пределу при  Δx → 0,  получаем

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу.

      В силу непрерывности функции   y = f (t)   выполнено равенство

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу.

      По определению производной функции   S (x)   имеем

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу (6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

      Следствие 1. Функция   S (x)   является первообразной подынтегральной функции   f (x) .  

Теорема Ньютона - Лейбница

      Теорема Ньютона-Лейбница. Если   F (x)   – любая первообразная функции   f (x),   то справедливо равенство

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница. (7)

      Доказательство. Поскольку   S (x)   и   F (x)   – две первообразных функции   f (x),   то существует такое число   c,  что выполнено равенство

S (x) = F (x) + c (8)

      Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница (9)

      Подставив в формулу (9) значение   x = a,  получаем равенство

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница (10)

      Заметим, что

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница (11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой   t = a,   равна   0 .

      Из формул (10) и (11) следует, что

c = – F (a) ,

и формула (9) принимает вид

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

      Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница (12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

      Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница

      Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования   t ,   так и с любой другой переменной интегрирования, например,   x :

определенный интеграл теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница

      Замечание 4. Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций   f (x),   но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих поизвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

      Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = e – x,     y = 0,     x = 0,     x = ln 3.

      Решение. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции примеры решения задач

Рис.6

      Найдем площадь этой криволинейной трапеции:

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции

      Ответ. определенный интеграл площадь криволинейной трапеции

      Задача 2. График функции   y = f (x)   изображен на рисунке 7.

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции примеры решения задач

Рис.7

Вычислить интеграл

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции примеры решения задач (13)

      Решение. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции   y = f (x),   ограниченной снизу осью абсцисс   Ox   и ограниченной с боков отрезками прямых   x = 2   и   x = 9.   Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна   9,   а площадь трапеции равна   20.   Таким образом, интеграл (13) равен   29.

      Ответ.   29.

      Задача 3. Вычислить определенный интеграл

определенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач (14)

      Решение. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

определенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

определенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач

      Ответ. определенный интеграл формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

определенный интеграл площадь криволинейной трапеции подынтегральная функция переменная интегрирования отрезок интегрирования верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования теорема Ньютона-Лейбница формула Ньютона-Лейбница примеры решения задач индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования