Mосква, Северо-восток

Построение графиков функций

справочник по математике для школьников элементы математического анализа построение графика функции схема иссследования поведения функцииСхема исследования поведения функций, применяемая для построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функцийПримеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа построение графика функции схема иссследования поведения функции примеры

Схема исследования поведения функций, применяемая для построения графиков функций

      Для построения графика функции   y = f (x)   желательно сначала провести исследование поведения функции   y = f (x)   по следующей схеме.

  1. Найти область определения   D ( f ).

  2. Выяснить, является ли функция   y = f (x)   четной или нечетной.

  3. Выяснить, является ли функция   y = f (x)  периодической.

  4. Найти асимптоты графика функции.

  5. Вычислить производную функции   f ' (x) .

  6. Найти критические точки функции   y = f (x) .

  7. Найти интервалы возрастания и убывания функции   y = f (x) .

  8. Найти экстремумы функции   y = f (x) .

  9. Найти точки пересечения графика функции   y = f (x)   с осями координат.

    Если не удается точно найти нули функции, то есть точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс   Ox,   то нужно попытаться найти интервалы, на которых нули функции располагаются. Часто эти интервалы удается найти, зная точки максимума и минимума функции.

  10. Вычислить вторую производную функции   f "  (x) .

  11. Найти интервалы, на которых функция   y = f (x)   выпукла вверх, а также интервалы, на которых функция   y = f (x)  выпукла вниз.

  12. Найти точки перегиба графика функции  y = f (x) .

      Замечание. Желательно рисовать схему поведения функции параллельно с проведением исследования свойств функции по описанному выше плану.

Примеры построения графиков функций

      Пример 1. Построить график функции

y = x3 + 8x2 + 16x + 128(1)

      Решение. Областью определения функции (1) является вся числовая прямаясправочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций.

      Функция (1) не является ни четной, ни нечетной.

      Функция (1) не является периодической.

      Вертикальных асимптот у графика функции (1) нет, так как для любого числа   x0

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

     Проверим, есть ли у графика функции (1) наклонные асимптоты. Поскольку

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

то делаем вывод, что наклонных асимптот у графика функции (1) нет.

      Теперь вычислим производную функции (1):

y' (x) = 3x2 + 16x + 16 .

      Поскольку   y' (x)   существует для всех справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций, то все критические точки функции являются ее стационарными точками, то есть точками, в которых

y' (x) = 0 .

      Найдем стационарные точки функции (1), интервалы, на которых   y' (x)   сохраняет знак, а также экстремумы функции. Для этого решим квадратное уравнение

3x2 + 16x + 16 = 0.

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

      Изобразим на рисунке 1 диаграмму знаков производной   y' (x)

примеры построения графиков функций
примеры построения графиков функций

Рис.1

      На интервалах справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций и справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функцийпроизводная   y' (x)   положительна, значит, функция (1) возрастает. На интервале справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функцийпроизводная   y' (x)   отрицательна, значит, функция (1) убывает. Схематически поведение функции (1) изображено на рисунке 2.

примеры построения графиков функций
примеры построения графиков функций

Рис.2

      При переходе через точку   x = – 4   производная функции   y' (x)   меняет знак с   «+»   на   «–» . Следовательно, точка   x = – 4   является точкой максимума функции (1). При переходе через точку справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функцийпроизводная функции   y' (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно, точка справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций является точкой минимума функции (1).

      Найдем значения функции (1) в стационарных точках:

y (–4) = 256 ,

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

     Теперь вычислим вторую производную функции (1):

y" (x) = (y' (x))' = (3x2 + 16x + 16)' = 6x + 16 .
y" (x) = (y' (x))' =
= (3x2 + 16x + 16)' =
= 6x + 16 .

     Вторая производная   y" (x)   обращается в нуль при справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций. Изобразим на рисунке 3 диаграмму знаков второй производной   y" (x)

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

Рис.3

      При переходе через точку справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций вторая производная функции   y" (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно, справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функцийточка перегиба графика функции (1). При справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций функция (1) выпукла вверх, при справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций функция (1) выпукла вниз.

      Дополним схему поведения функции, представленную на рисунке 2, новыми данными о направлении выпуклости функции (рис. 4).

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

Рис.4

      Для того, чтобы найти точки пересечения функции (1) с осью   Ox ,   решим уравнение

x3 + 8x2 + 16x + 128 = 0 ,

x2 (x + 8) + 16 (x + 8) = 0 ,

(x + 8) (x2 + 16) = 0 .

      Таким образом, точка   (– 8; 0)   является единственной точкой пересечения графика функции (1) с осью   Ox .   Точкой пересечения графика функции (1) с осью   Oy   будет точка   (0; 128) .

      На схеме поведения функции, представленной на рисунке 4, добавим информацию о знаках функции (1) (рис. 5).

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

Рис.5

     Принимая во внимание результаты исследования поведения функции (1) (большая часть данных компактно представлена на рисунке 5), мы можем построить график функции (1) (рис.6):

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

Рис.6

      Пример 2. Построить график функции

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций(2)

      Решение. Областью определения функции (2) является вся числовая прямая, за исключением точки   x = 0 ,   то есть справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций.

      Функция (2) не является ни четной, ни нечетной.

      Функция (2) не является периодической.

      Прямая   x = 0   является вертикальной асимптотой графика функции (2), так как

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

      Для того, чтобы выяснить, имеются ли у графика функции (2) наклонные асимптоты, представим правую часть формулы (2) в другом виде:

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
(3)

      Из формулы (3) получаем равенство

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

откуда вытекает, что прямая

y = x + 3

является наклонной асимптотой графика функции (2), как при справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций, так и при справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций.

      Теперь вычислим производную функции (2). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулой (3):

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций(4)

      Для того, чтобы найти стационарные точки функции (2), преобразуем правую часть формулы (4):

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

      Следовательно,

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций(5)

и стационарными точками функции (2) являются точки   x = – 1   и   x = 2 .   Поскольку   y' (x)   не существует при   x = 0 ,   то критическими точками функции (2) являются точки

x = – 1 ,   x = 0,   x = 2 .

      Изобразим на рисунке 7 диаграмму знаков производной   y' (x)

примеры построения графиков функций
примеры построения графиков функций

Рис.7

      На интервалах справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций, справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций и справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функцийпроизводная   y' (x)   положительна, значит, функция (2) возрастает на этих интервалах. На интервале   (0, 2)   производная   y' (x)   отрицательна, значит, функция (2) убывает на этом интервале. Схематически поведение функции (2) изображено на рисунке 8.

примеры построения графиков функций
примеры построения графиков функций

Рис.8

      При переходе через точку   x = – 1   производная функции   y' (x)   знак не меняет, значит, в этой точке экстремума нет. При переходе через точку   x = 2   производная функции   y' (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» .   Следовательно, точка   x = 2   является точкой минимума функции (2).

      Найдем значения функции (1) в стационарных точках:

y (–1) = 0 ,

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

     Теперь перейдем к вычислению второй производной функции (2). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулой (4):

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

      Вторая производная   y" (x)   обращается в нуль при   x = – 1 .   Изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной   y" (x)

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

Рис.9

      При переходе через точку   x = – 1   вторая производная функции   y" (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = – 1   – точка перегиба графика функции (2). При   x < – 1   функция (2) выпукла вверх, при   x > – 1   функция (2) выпукла вниз.

      Дополним схему поведения функции, представленную на рисунке 8, данными о направлении выпуклости функции (рис. 10).

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

Рис.10

      Найдем точки пересечения функции (2) с осями координат: точка   (– 1; 0)   является единственной точкой пересечения графика функции (2) с осью   Ox ,   а точек пересечения графика функции (2) с осью   Oy   нет, поскольку   x = 0   не входит в область определения функции (2).

      На схеме поведения функции, представленной на рисунке 10, добавим информацию о знаках функции (2) (рис. 11).

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

Рис.11

     Принимая во внимание результаты исследования поведения функции (2) (большая часть данных компактно представлена на схеме рисунка 11), мы можем построить график функции (2) (рис.12):

справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций
справочник по математике для школьников элементы математического анализа примеры построения графиков функций

Рис.12

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

построение графика функции схема иссследования поведения функции примерыподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

построение графика функции схема иссследования поведения функции примерыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ




Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ
НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования