e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производнойЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производнойТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производной ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производнойГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производной ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производной Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производнойЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производнойПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производнойЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производнойЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производной ЕГЭ супертренинг. Математика. Тематические тренировочные задания. Уровень В, С. - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производной Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задание C3. Решение неравенств с одной переменной - Прокофьев А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производной Элементы математического анализа

Исследование поведения функций с помощью производной

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной Интервалы возрастания и убывания функции
достаточные условия возрастания функции достаточные условия убывания функции знак производной Достаточные условия для возрастания и убывания функции
экстремум функции максимум функции минимум функции Экстремумы (максимумы и минимумы) функции
экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма «Подозрительные» на наличие экстремума точки функции. Теорема Ферма
экстремум функции максимум функции минимум функции достаточные условия существования экстремума Достаточные условия для существования экстремума функции
пример исследования поведения функции с помощью производной Пример исследования поведения функции

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производной

Интервалы возрастания и убывания функции

      Для того, чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, часто используется метод, основанный на анализе знаков производной рассматриваемой функции. Суть этого метода состоит в следующем.

      Если на интервале   (a, b)  функция  y = f (x)  строго возрастает и в каждой точке   x0   интервала имеет производную, то, как показано на рисунке 1, а также на рисунке 2,

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной

Рис.1

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной

Рис.2

угол   α   наклона касательной к графику функции будет острым, откуда вытекает неравенство:

f ' (x0) = tg α > 0

      Если же на интервале   (a, b)  функция  y = f (x)   строго убывает и в каждой точке   x0   интервала имеет производную, то, как показано на рисунках 3 и 4,

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной

Рис.3

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной

Рис.4

угол   α   наклона касательной к графику функции будет тупым, откуда вытекает неравенство:

f ' (x0) = tg α < 0

Достаточные условия для возрастания и убывания функции

      В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики, сформулированы достаточные условия для возрастания и убывания функции.

      Утверждение 1.

     а). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ' (x)   существует и удовлетворяет неравенству

f ' (x) > 0 ,

то функция   f (x)   строго возрастает на интервале   (a, b) .

     б). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ' (x)   существует и удовлетворяет неравенству

достаточные условия возрастания функции достаточные условия убывания функции знак производной

то функция   f (x)   возрастает (не убывает) на интервале   (a, b) .

     в). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ' (x)   существует и удовлетворяет неравенству

f ' (x) < 0 ,

то функция   f (x)   строго убывает на интервале   (a, b) .

     г). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ' (x)   существует и удовлетворяет неравенству

достаточные условия возрастания функции достаточные условия убывания функции знак производной

то функция   f (x)   убывает (не возрастает) на интервале   (a, b) .

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

      Определение 1. Точку   x0   называют точкой максимума функции   f (x) ,   если существует интервал   (a, b) ,   такой, что   a < x0 < b ,   для точек   x   которого выполнено неравенство

экстремум функции максимум функции минимум функции.

      Таким образом, если   x0   – точка максимума функции   f (x) ,   то в интервале   (a, b)   значение функции   f (x0)   больше всех остальных значений функции.

      Определение 2. Точку   x0   называют точкой минимума функции   f (x) ,   если существует интервал   (a, b) ,   такой, что   a < x0 < b ,   для точек   x   которого выполнено неравенство

экстремум функции максимум функции минимум функции.

      Другими словами, если   x0   – точка минимума функции   f (x) ,   то в интервале   (a, b)   значение функции   f (x0)   меньше всех остальных значений функции.

      Определение 3. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции, а значения функции в точках экстремума называют экстремумами функции.

«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции.
Теорема Ферма

      Определение 4. Стационарной точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю.

      Определение 5. Критической точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю или не существует.

      Таким образом, если точка   x0   является критической точкой функции, то точка   x0   либо является стационарной точкой функции, либо производная функции в точке   x0   не существует.

      Теорема Ферма. Если точка   x0   является точкой экстремума функции   f (x) ,   то точка   x0   является критической точкой функции   f (x) .

      Доказательство. Если в точке   x0   у функции   y = f (x)   не существует производная, то точка   x0   является критической точкой по определению. Докажем, что если в точке   x0   у функции   y = f (x)   существует производная, то точка   x0   является стационарной, то есть   f ' (x0) = 0 .

      Предположим сначала, что точка   x0   является точкой максимума функции   y = f (x)  (рис. 5).

экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма

Рис.5

      Поскольку   x0   – точка максимума, то для любой точки   x1  такой, что   x1 < x0 ,  выполнено неравенство   f (x1) < f (x0) ,  поэтому

экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма.

      Точно так же, для любой точки   x2  такой, что   x2 > x0 ,  выполнено неравенство   f (x2) < f (x0) ,  поэтому

экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма.

      Таким образом, в случае, когда точка   x0   является точкой максимума функции   y = f (x),  выполнено равенство   f ' (x0) = 0 .   Касательная к графику функции   y = f (x)   в точке   A= (x0f (x0))   параллельна оси   Ox.

      Совершенно аналогично доказывается, что и в случае, когда точка   x0   является точкой минимума функции   y = f (x),  выполнено равенство   f ' (x0) = 0 .  

      Замечание 1. Из утверждения 2 следует, что точки экстремумов функции (точки максимумов и точки минимумов) нужно искать лишь среди критических точек функции, так как в других (некритических) точках экстремумов быть не может. По этой причине критические точки функции часто называют точками, подозрительными на экстремум.

Достаточные условия для существования экстремума функции

      В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики и в нашем справочнике не приводится, сформулированы достаточные условия для экстремума функции.

      Утверждение 3. Рассмотрим функцию   f (x) ,   непрерывную в интервале   (a, b),   содержащем точку   x0 ,   производная которой существует в каждой точке этого интервала, кроме, быть может, самой точки   x0 .

     а). Если для точек экстремум функции максимум функции минимум функции достаточное условие существования экстремумавыполнено условие:

f ' (x) > 0   при   x < x0   и   f ' (x) < 0   при   x > x0 ,

то точка   x0   является точкой максимума функции   f (x)   (рис. 6).

экстремум функции максимум функции минимум функции достаточные условия существования экстремума

Рис.6

     б). Если для точек экстремум функции максимум функции минимум функции достаточное условие существования экстремумавыполнено условие:

f ' (x) < 0   при   x < x0   и   f ' (x) > 0   при   x > x0 ,

то точка   x0   является точкой минимума функции   f (x)   (рис. 7).

экстремум функции максимум функции минимум функции достаточные условия существования экстремума

Рис.7

      Замечание 2. Условия а) и б) утверждения 3 часто формулируют так: «Если при переходе через точку   x0  производная функции меняет знак с   «+»   на   «–» ,   то точка   x0   является точкой максимума функции. Если при переходе через точку   x0  производная функции меняет знак с   «–»   на   «+» ,   то точка   x0   является точкой минимума функции».

Пример исследования поведения функции

      Пример. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции  

y = | x3 + 3x2 | (1)

      Решение. Исследуем сначала на возрастание, убывание и экстремумы функцию  

y1 = x3 + 3x2 (2)

и построим ее график. Для этого представим формулу (2) в виде

y1 = x2 (x + 3)

и заметим, что

      а)   y1 = 0   при   x = 0   и   x = – 3 ,

      б)   y1 > 0   при   x > – 3 ;   y1 < 0   при   x < – 3 .

      Теперь вычислим производную функции (2):

пример исследования поведения функции с помощью производной (3)

и разложим на множители правую часть формулы (3):

пример исследования поведения функции с помощью производной (4)

      На рисунке 8 при помощи метода интервалов изобразим на числовой оси знаки производной (4)

пример исследования поведения функции с помощью производной

Рис.8

      Поскольку решением неравенства

3x (x + 2) > 0

является множество

пример исследования поведения функции с помощью производной, (5)

то в соответствии с утверждением 1 функция   y1   возрастает на каждом из интервалов пример исследования поведения функции с помощью производнойи пример исследования поведения функции с помощью производной.

      С другой стороны, поскольку решением неравенства

3x (x + 2) < 0

является интервал

(– 2, 0), (6)

то в соответствии с утверждением 1 функция   y1   убывает на интервале   (– 2, 0) .

      Так как решениями уравнения

3x (x + 2) = 0

являются точки

x = – 2;   x = 0; (7)

то эти точки являются стационарными точками функции   y1 .

      Поскольку при переходе через точку   x = – 2   производная функции   y1  меняет знак с   «+»   на   «–»   (рис. 8), то в соответствии с утверждением 3 точка   x = – 2   является точкой максимума функции   y1,   при этом

y1 (– 2) = 4 .

      При переходе через точку  x = 0  производная функции   y1  меняет знак с   «–»   на   «+»   (рис. 8), поэтому в соответствии с утверждением 3 точка  x = 0  является точкой минимума функции   y1,   при этом

y1 (0) =0 .

      Заметим, что при анализе поведения функции по знакам ее производной, удобно использовать следующую диаграмму, на которой стрелками указаны интервалы возрастания и убывания функции (рис. 9).

пример исследования поведения функции с помощью производной

Рис.9

      Теперь мы можем построить график функции   y1   (рис. 10).

пример исследования поведения функции с помощью производной

Рис.10

      Перейдем к построению графика функции   y = | x3 + 3x2 |

      В силу определения модуля, справедливо равенство

пример исследования поведения функции с помощью производной

      Из этого равенства вытекает, что, если мы симметрично отразим относительно оси Ox часть графика функции  y1 = x3 + 3x2   (рис. 10), лежащую в нижней полуплоскости, оставив без изменения часть этого графика, лежащую в верхней полуплоскости, то мы получим график функции   y = | x3 + 3x2 |   (рис.11) . 

пример исследования поведения функции с помощью производной

Рис.11

      В точке   x = – 3   производная функции   y = | x3 + 3x2 |   не существует. Во всех остальных точках числовой оси производная функции   y = | x3 + 3x2 |   существует.

      Точки   x = – 3   и  x = 0  являются точками минимума, причем   y ( – 3) = y (0) = 0 .  

      Точка   x = – 2   является точкой максимума, причем   y ( – 2) = 4 .

      Функция   y = | x3 + 3x2 |   возрастает на каждом из интервалов   (– 3, – 2)   и пример исследования поведения функции с помощью производной.

      Функция   y = | x3 + 3x2 |   убывает на каждом из интервалов пример исследования поведения функции с помощью производной и   (– 2, 0).

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производной подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производной индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования