e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус периодическая функция непериодическая функция период график функции примерыЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус периодическая функция непериодическая функция период график функции примерыТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус периодическая функция непериодическая функция период график функции примеры ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус периодическая функция непериодическая функция период график функции примерыГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус периодическая функция непериодическая функция период график функции примеры ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус периодическая функция непериодическая функция период график функции примеры Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус периодическая функция непериодическая функция период график функции примерыПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус периодическая функция непериодическая функция период график функции примеры Элементы математического анализа

Свойства функций. График функции

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры Ограниченные и неограниченные функции
свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры Монотонные и строго монотонные функции
свойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус  примеры Четные и нечетные функции
свойства функции периодическая функция непериодическая функция период примеры Периодические и непериодические функции. Период функции
график функции примеры График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция наибольшее значение функции максимум наименьшее значение функции минимум монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус периодическая функция непериодическая функция период график функции примеры

Ограниченные и неограниченные функции

      Обозначим буквой   X   некоторое множество чисел, входящих в область определения   D ( f )   функции   y = f (x).

      Определение 1. Функцию   y = f (x)   называют ограниченной сверху на множестве   X ,  если существует такое число   a ,   что для любого   x   из множества   X   выполнено неравенство

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

      Определение 2. Функцию  y = f (x)   называют ограниченной снизу на множестве   X ,  если существует такое число   b ,   что для любого   x   из множества   X   выполнено неравенство

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

      Определение 3. Функцию  y = f (x)   называют ограниченной на множестве   X ,  если существуют такие числа   a   и   b ,   что для любого   x   из множества   X   выполнено неравенство

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

      Определение 4. Функцию  y = f (x)   называют неограниченной сверху на множестве   X ,  если для любого числа   a   существует такой   x   из множества   X ,   для которого выполнено неравенство

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

      Определение 5. Функцию  y = f (x)   называют неограниченной снизу на множестве   X ,  если для любого числа   b   существует такой   x   из множества   X ,   для которого выполнено неравенство

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

      Определение 6. Функцию  y = f (x)   называют неограниченной на множестве   X ,  если эта функция или неограничена сверху, или неограничена снизу, или неограничена и сверху, и снизу.

      Проиллюстрируем эти определения следующими примерами.

      Пример 1. Функция   y = x2   (рис. 1) является ограниченной снизу и неограниченной сверху на множестве свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

Рис.1

      Пример 2. Функция   y = – x2   (рис. 2) является ограниченной сверху и неограниченной снизу на множестве свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

Рис.2

      Пример 3. Функция   y = x   (рис. 3) неограничена сверху и неограничена снизу на множестве свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

Рис.3

      Пример 4. Функция   y = arctg x   (рис. 4) ограничена на множестве свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

Рис.4

Монотонные и строго монотонные функции

      Определение 7. Функцию  y = f (x)   называют возрастающей на множестве   X ,  если для любых чисел свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры и свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры,   удовлетворяющих неравенству   x1 < x2 ,   выполнено неравенство

свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры

      Замечание 1. Возрастающие функции также называют неубывающими функциями.

      Определение 8. Функцию  y = f (x)   называют убывающей на множестве   X ,  если для любых чисел свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры и свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры,   удовлетворяющих неравенству   x1 < x2 ,   выполнено неравенство

свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры

      Замечание 2. Убывающие функции также называют невозрастающими функциями.

      Определение 9. Функцию  y = f (x)   называют строго возрастающей на множестве   X ,  если для любых чисел свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры и свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры,   удовлетворяющих неравенству   x1 < x2 ,   выполнено неравенство

f (x1) < f (x2)

      Определение 10. Функцию  y = f (x)   называют строго убывающей на множестве   X ,  если для любых чисел свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры и свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры,   удовлетворяющих неравенству   x1 < x2 ,   выполнено неравенство

f (x1) > f (x2)

      Определение 11. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными,  строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.

      Пример 5. Функция   y = x2   (рис. 1) является строго убывающей функцией на множестве свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примерыи строго возрастающей на множестве свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры

      Пример 6. Функция   y = – x2   (рис. 2) является строго возрастающей функцией на множестве свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примерыи строго убывающей на множестве свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры

      Пример 7. Функция   y = x   (рис. 3) является строго возрастающей функцией на множестве свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры

      Пример 8. Функция   y = arctg x   (рис. 4) является строго возрастающей на множестве свойства функции монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция примеры

Четные и нечетные функции

      Определение 12. Функцию  y = f (x) ,   определенную на множестве   X ,  называют четной функцией, если для любого числа   x   из множества   X   число   – x   также принадлежит множеству   X   и выполняется равенство

f (– x) = f (x)

      Определение 13. Функцию  y = f (x) ,   определенную на множестве   X ,  называют нечетной функцией, если для любого числа   x   из множества   X   число   – x   также принадлежит множеству   X   и выполняется равенство

f (– x) = – f (x)

      Пример 9. Функции   y = x2   и   y = – x2   являются четными функциями (рис. 1 и рис. 2), а функции   y = x   и   y = arctg x   являются нечетными функциями (рис. 3 и рис. 4).

      Пример 10. Примерами функций, которые не являются ни четными, ни нечетными функциями, являются показательные и логарифмические функции.

      Утверждение. Любую функцию   y = f (x) ,   определенную на симметричном относительно точки   x = 0   множестве   X ,  можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

      Доказательство. Рассмотрим две функции:

свойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус  примеры

сумма которых равна   f (x) ,   и заметим, что функция   g1 (x)   является четной функцией, а функция   g2 (x)   является нечетной функцией. Действительно,

свойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус  примеры

что и завершает доказательство утверждения.

      Замечание 3. Раскладывая функцию   y = e x   в сумму четной и нечетной функций, получаем:

свойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус  примеры

      Функцию   g1 (x)   называют гиперболическим косинусом и обозначают   ch x :  

свойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус  примеры

      Функцию   g2 (x)   называют гиперболическим синусом и обозначают   sh x :  

свойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус  примеры

      Таким образом, справедливо равенство

e x = sh x + ch x

Периодические и непериодические функции. Период функции

      Определение 14. Число свойства функции периодическая функция непериодическая функция период примеры называют периодом функции  f (x) ,   если для любого числа свойства функции периодическая функция непериодическая функция период примеры  числа   x + T   и   x – T   также принадлежат области определения   D ( f )   и справедливы равенства

f ( x + T ) = f (x) ,     f ( x – T ) = f (x)

      Определение 15. Если функция имеет период, то ее называют периодической. Если же у функции периода нет, то ее называют непериодической.

      Замечание 4. Если число   T   является периодом некоторой функции, то и число   kT ,   где   k   – любое целое число, отличное от нуля, также является периодом этой функции.

      Пример 11. Функции   y = sin x   и   y = cos x   являются периодическими функциями с периодом   , функции   y = tg x   и   y = ctg x   являются периодическими функциями с периодом   π.

      Подробнее об этом можно прочитать в разделе «Свойства тригонометрических функций» → «Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса» нашего справочника.

      Пример 12. Показательные, логарифмические и степенные функции являются непериодическими функциями.

График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций

      Рассмотрим плоскость с заданной прямоугольной системой координат   Oxy .

      Определение 16.  Графиком функции   y = f (x)   называют множество всех точек, координаты которых имеют вид  (x; f (x)) , где  график функции примеры.

      Замечание 5. График четной функции симметричен относительно оси ординат   Oy   (см., например, рис. 1 и рис. 2), график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, рис. 3 и рис. 4).

      Замечание 6. График периодической функции не изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс   Ox   на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника). Поэтому для того, чтобы построить график периодической функции с периодом   T,   достаточно построить график этой функции на любом отрезке оси абсцисс   Ox   длины   T,   а затем сдвигать его влево и вправо на расстояния   nT ,   где   n   – любое натуральное число.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус периодическая функция непериодическая функция период график функции примеры подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция монотонная функция строго монотонная функция возрастающая функция убывающая функция строго возрастающая функция строго убывающая функция четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус периодическая функция непериодическая функция период график функции примеры индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования