Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций
Правила вычисления производных
Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.
Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство
(c f (x))' = c f ' (x) ,
где c – любое число.
Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.
Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле
(f (x) + g (x))' = f ' (x) + g' (x),
то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.
Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле
(f (x) – g (x))' = f ' (x) – g' (x),
то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.
Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле
(f (x) g (x))' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x),
Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.
Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле
,
Определение. Рассмотрим функции f (x) и g (x) . Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида
f (g (x))
При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.
Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле
[ f (g (x))]' = f ' (g (x)) g' (x)
Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .
Таблица производных часто встречающихся функций
В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.
| Функция |
Формула для производной |
Название формулы |
y = c ,
где c – любое число |
y' = 0 |
Производная от постоянной функции |
y = x c ,
где c – любое число |
y' = c x c – 1 |
Производная степенной функции |
y = e x |
y' = e x |
Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e) |
y = a x
где a – любое положительное число,
не равное 1 |
y' = a x ln a |
Производная от показательной функции с основанием a |
y = ln x , x > 0 |
 , x > 0 |
Производная от натурального логарифма |
y = log a x , x > 0
где a – любое положительное число,
не равное 1 |
 , x > 0 |
Производная от логарифма по основанию a |
y = sin x |
y' = cos x |
Производная синуса |
y = cos x |
y' = – sin x |
Производная косинуса |
y = tg x ,
 |
 , |
Производная тангенса |
y = ctg x ,
 |
 , |
Производная котангенса |
y = arcsin x ,  |
 |
Производная арксинуса |
y = arccos x , |
 |
Производная арккосинуса |
y = arctg x |
 |
Производная арктангенса |
y = arcctg x |
 |
Производная арккотангенса |
Таблица производных сложных функций
В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.
В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид f (x) = kx + b , где k и b – любые числа, 
.
| Функция |
Формула для производной |
y = (kx + b) c ,
где c – любое число. |
y' = kc (kx + b) c – 1 ,
|
y = ( f (x)) c ,
где c – любое число. |
 |
y = e kx + b |
y = ke kx + b |
y = e f (x) |
 |
y = a kx + b
где a – любое положительное число,
не равное 1 |
 |
y = a f (x)
где a – любое положительное число,
не равное 1 |
 |
y = ln (kx + b) , kx + b > 0 |
 , kx + b > 0 |
y = ln ( f (x)) , f (x) > 0 |
 , f (x) > 0 |
y = log a (kx + b) , kx + b > 0
где a – любое положительное число,
не равное 1 |
 , kx + b > 0 |
y = log a ( f (x)) , f (x) > 0
где a – любое положительное число,
не равное 1 |
 , f (x) > 0 |
y = sin (kx + b) |
y' = k cos (kx + b) |
y = sin ( f (x)) |
 |
y = cos (kx + b) |
y' = – k sin (kx + b) |
y = cos ( f (x)) |
 |
y = tg (kx + b),
 |
 , |
y = tg ( f (x)),
 |
 , |
y = ctg (kx + b),
 |
 , |
y = ctg ( f (x)),
 |
 , |
y = arcsin (kx + b),  |
 |
y = arcsin ( f (x)),  |
 |
y = arccos (kx + b), |
 |
y = arccos ( f (x)), |
 |
y = arctg (kx + b) |
 |
y = arctg ( f (x)) |
 |
y = arcctg (kx + b) |
 |
y = arcctg ( f (x)) |
 |
На нашем сайте можно также
ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
Запись по телефону (495) 509-28-10. |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента"
проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
