Mосква, Северо-восток
Справочник по математикевертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотЭлементы математического анализавертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотФункции

Асимптоты графиков функций

вертикальные асимптоты графика функцииВертикальные асимптоты
наклонные асимптоты графика функцииНаклонные асимптоты
горизонтальные асимптоты графика функцииГоризонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот
наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотПоиск наклонных асимптот графиков функций

вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты

      Во многих разделах нашего справочника приведены графики различных функций. Для многих функций существуют прямые, к которым графики функций неограниченно приближаются. Такие прямые называют асимптотами, и их точное определение мы дадим чуть позже. Как мы увидим далее, асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными. С вертикальными и горизонтальными асимптотами графика функции мы уже встречались, в частности, в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции». С наклонными асимптотами, за исключением горизонтальных, мы пока еще дела не имели.

      Определение 1. Говорят, что   x   стремится к   x0   слева и обозначают

xx0 – 0 ,

если   x   стремится к   x0   и   x   меньше   x0 .  

      Говорят, что   x   стремится к   x0   справа и обозначают

xx0 + 0 ,

если   x   стремится к   x0   и   x   больше   x0 .

      Определение 2. Прямую

x = c

называют вертикальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к   с   справа, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (с, d)   и выполнено соотношение

вертикальные асимптоты графика функциипри   xc + 0

      Прямую

x = с

называют вертикальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к   с   слева, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (d, c)   и выполнено соотношение

вертикальные асимптоты графика функциипри   xc – 0

      Пример 1. Прямая

x = 2

является вертикальной асимптотой графика функции

вертикальные асимптоты графика функции

как справа, так и слева (рис. 1)

вертикальные асимптоты графика функции

Рис.1

      Пример 2. Прямая

x = 0

является вертикальной асимптотой графика функции

y = ln x

при   x ,   стремящемся к   0   справа (рис. 2)

вертикальные асимптоты графика функции

Рис.2

Наклонные асимптоты

      Определение 3. Прямую

y = kx + b

называют наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к наклонные асимптоты графика функции, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале наклонные асимптоты графика функции и выполнено соотношение

наклонные асимптоты графика функции

      Прямую

y = kx + b

называют наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к наклонные асимптоты графика функции, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале наклонные асимптоты графика функции и выполнено соотношение

наклонные асимптоты графика функции

Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот

      Определение 4. Прямую

y = b

называют горизотальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале горизонтальные асимптоты графика функции и выполнено соотношение

горизонтальные асимптоты графика функции

      Прямую

y = b

называют горизотальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале горизонтальные асимптоты графика функции и выполнено соотношение

горизонтальные асимптоты графика функции

      Замечание. Из определений 3 и 5 вытекает, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты   y = kx + b,   когда угловой коэффициент прямой   k = 0 .

      Пример 3. Прямая

y = 3

является горизонтальной асимптотой графика функции

горизонтальные асимптоты графика функции

как при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции, так и при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции (рис. 3)

горизонтальные асимптоты графика функции

Рис.3

      Пример 4. Прямая

y = 0

является горизонтальной асимптотой графика функции

y = 2x

при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции(рис. 4)

горизонтальные асимптоты графика функции

Рис.4

      Пример 5. График функции  y = arctg x   (рис.5)

горизонтальные асимптоты графика функции

Рис.5

имеет две горизонтальные асимптоты: прямая

горизонтальные асимптоты графика функции

является горизонтальной асимптотой графика функции при горизонтальные асимптоты графика функции, а прямая

горизонтальные асимптоты графика функции

является горизонтальной асимптотой графика функции при горизонтальные асимптоты графика функции.

Поиск наклонных асимптот графиков функций

      Для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (или убедиться, что наклонной асимптоты при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотне существует), нужно совершить 2 операции.

      Первая операция. Вычислим предел

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот(1)

      Если предел (1) не существует или существует, но равеннаклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотнаклонных асимптот нет.

      Если предел (1) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   k ,  

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот,

переходим ко второй операции.

      Вторая операция. Вычислим предел

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот(2)

      Если предел (2) не существует или существует, но равеннаклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты графика функциинаклонных асимптот нет.

      Если предел (2) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   b ,

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот,

делаем вывод о том, что прямая

y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

      Совершенно аналогично поступаем для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (или убедиться, что наклонной асимптоты при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотне существует).

      Первая операция. Вычислим предел

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот(3)

      Если предел (3) не существует или существует, но равеннаклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты графика функциинаклонных асимптот нет.

      Если предел (3) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   k ,

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот,

переходим ко второй операции.

      Вторая операция. Вычислим предел

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот(4)

      Если предел (4) не существует или существует, но равеннаклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты графика функциинаклонных асимптот нет.

      Если предел (4) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   b ,

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот,

делаем вывод о том, что прямая

y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

      Пример 5. Найти асимптоты графика функции

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот(5)

и построить график этой функции.

      Решение. Функция (5) определена для всех наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптоти вертикальных асимптот не имеет.

      Найдем наклонные асимптоты графика функции (5). При наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотполучаем

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

      Отсюда вытекает, что прямая

y = x

наклонная асимптота графика функции (5) при наклонные асимптоты графика функции.

      При наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотполучаем

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

      Отсюда вытекает, что прямая

y = – x

наклонная асимптота графика функции (5) при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

      Функция (5) является четной функцией, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.

      Найдем производную функции (5):

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

      Итак,   y' > 0   при   x > 0 ,   y' < 0   при   x < 0 ,   y' = 0   при   x = 0 . /span>   Точка   x = 0   – стационарная, причем производная функции (5) при переходе через точку   x = 0   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = 0   – точкой минимума функции (5). Других критических точек у функции (5) нет.

      Теперь мы уже можем построить график функции (5):

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот

Рис.6

      Заметим, что график функции (5) находится выше асимптот   y = x   и   y = – x ,   поскольку справедливо неравенство:

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования