e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот ЕГЭ супертренинг. Математика. Тематические тренировочные задания. Уровень В, С. - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задание C3. Решение неравенств с одной переменной - Прокофьев А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот Элементы математического анализа

Асимптоты графиков функций

вертикальные асимптоты графика функции Вертикальные асимптоты
наклонные асимптоты графика функции Наклонные асимптоты
горизонтальные асимптоты графика функции Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот
наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот Поиск наклонных асимптот графиков функций

вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты

      Во многих разделах нашего справочника приведены графики различных функций. Для многих функций существуют прямые, к которым графики функций неограниченно приближаются. Такие прямые называют асимптотами, и их точное определение мы дадим чуть позже. Как мы увидим далее, асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными. С вертикальными и горизонтальными асимптотами графика функции мы уже встречались, в частности, в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции». С наклонными асимптотами, за исключением горизонтальных, мы пока еще дела не имели.

      Определение 1. Говорят, что   x   стремится к   x0   слева и обозначают

xx0 – 0 ,

если   x   стремится к   x0   и   x   меньше   x0 .  

      Говорят, что   x   стремится к   x0   справа и обозначают

xx0 + 0 ,

если   x   стремится к   x0   и   x   больше   x0 .

      Определение 2. Прямую

x = c

называют вертикальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к   с   справа, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (с, d)   и выполнено соотношение

вертикальные асимптоты графика функциипри   xc + 0

      Прямую

x = с

называют вертикальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к   с   слева, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (d, c)   и выполнено соотношение

вертикальные асимптоты графика функциипри   xc – 0

      Пример 1. Прямая

x = 2

является вертикальной асимптотой графика функции

вертикальные асимптоты графика функции

как справа, так и слева (рис. 1)

вертикальные асимптоты графика функции

Рис.1

      Пример 2. Прямая

x = 0

является вертикальной асимптотой графика функции

y = ln x

при   x ,   стремящемся к   0   справа (рис. 2)

вертикальные асимптоты графика функции

Рис.2

Наклонные асимптоты

      Определение 3. Прямую

y = kx + b

называют наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к наклонные асимптоты графика функции, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале наклонные асимптоты графика функции и выполнено соотношение

наклонные асимптоты графика функции

      Прямую

y = kx + b

называют наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к наклонные асимптоты графика функции, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале наклонные асимптоты графика функции и выполнено соотношение

наклонные асимптоты графика функции

Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот

      Определение 4. Прямую

y = b

называют горизотальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале горизонтальные асимптоты графика функции и выполнено соотношение

горизонтальные асимптоты графика функции

      Прямую

y = b

называют горизотальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале горизонтальные асимптоты графика функции и выполнено соотношение

горизонтальные асимптоты графика функции

      Замечание. Из определений 3 и 5 вытекает, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты   y = kx + b,   когда угловой коэффициент прямой   k = 0 .

      Пример 3. Прямая

y = 3

является горизонтальной асимптотой графика функции

горизонтальные асимптоты графика функции

как при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции, так и при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции (рис. 3)

горизонтальные асимптоты графика функции

Рис.3

      Пример 4. Прямая

y = 0

является горизонтальной асимптотой графика функции

y = 2x

при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции(рис. 4)

горизонтальные асимптоты графика функции

Рис.4

      Пример 5. График функции  y = arctg x   (рис.5)

горизонтальные асимптоты графика функции

Рис.5

имеет две горизонтальные асимптоты: прямая

горизонтальные асимптоты графика функции

является горизонтальной асимптотой графика функции при горизонтальные асимптоты графика функции, а прямая

горизонтальные асимптоты графика функции

является горизонтальной асимптотой графика функции при горизонтальные асимптоты графика функции.

Поиск наклонных асимптот графиков функций

      Для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (или убедиться, что наклонной асимптоты при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотне существует), нужно совершить 2 операции.

      Первая операция. Вычислим предел

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (1)

      Если предел (1) не существует или существует, но равен наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот наклонных асимптот нет.

      Если предел (1) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   k ,  

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот,

переходим ко второй операции.

      Вторая операция. Вычислим предел

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (2)

      Если предел (2) не существует или существует, но равен наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты графика функции наклонных асимптот нет.

      Если предел (2) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   b ,  

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот,

делаем вывод о том, что прямая

y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

      Совершенно аналогично поступаем для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (или убедиться, что наклонной асимптоты при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотне существует).

      Первая операция. Вычислим предел

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (3)

      Если предел (3) не существует или существует, но равен наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты графика функции наклонных асимптот нет.

      Если предел (3) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   k ,  

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот,

переходим ко второй операции.

      Вторая операция. Вычислим предел

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (4)

      Если предел (4) не существует или существует, но равен наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты графика функции наклонных асимптот нет.

      Если предел (4) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   b ,  

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот,

делаем вывод о том, что прямая

y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

      Пример 5. Найти асимптоты графика функции

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (5)

и построить график этой функции.

      Решение. Функция (5) определена для всех наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптоти вертикальных асимптот не имеет.

      Найдем наклонные асимптоты графика функции (5). При наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотполучаем

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

      Отсюда вытекает, что прямая

y = x

наклонная асимптота графика функции (5) при наклонные асимптоты графика функции.

      При наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотполучаем

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

      Отсюда вытекает, что прямая

y = – x

наклонная асимптота графика функции (5) при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

      Функция (5) является четной функцией, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.

      Найдем производную функции (5):

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

      Итак,   y' > 0   при   x > 0 ,   y' < 0   при   x < 0 ,   y' = 0   при   x = 0 .   Точка   x = 0   – стационарная, причем производная функции (5) при переходе через точку   x = 0   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = 0   – точкой минимума функции (5). Других критических точек у функции (5) нет.

      Теперь мы уже можем построить график функции (5):

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот

Рис.6

      Заметим, что график функции (5) находится выше асимптот   y = x   и   y = – x ,   поскольку справедливо неравенство:

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования