Справочник по математикевертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотЭлементы математического анализавертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот Функции

 

Асимптоты графиков функций

Содержание

вертикальные асимптоты графика функции Вертикальные асимптоты
наклонные асимптоты графика функции Наклонные асимптоты
горизонтальные асимптоты графика функции Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот
наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот Поиск наклонных асимптот графиков функций
 

вертикальные асимптоты наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты

Во многих разделах нашего справочника приведены графики различных функций. Для многих функций существуют прямые, к которым графики функций неограниченно приближаются. Такие прямые называют асимптотами, и их точное определение мы дадим чуть позже. Как мы увидим далее, асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными. С вертикальными и горизонтальными асимптотами графика функции мы уже встречались, в частности, в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции». С наклонными асимптотами, за исключением горизонтальных, мы пока еще дела не имели.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что   x   стремится к   x0   слева и обозначают

xx0 – 0 ,

если   x   стремится к   x0   и   x   меньше   x0 .  

Говорят, что   x   стремится к   x0   справа и обозначают

xx0 + 0 ,

если   x   стремится к   x0   и   x   больше   x0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Прямую

x = c

называют вертикальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к   с   справа, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (сd)   и выполнено соотношение

вертикальные асимптоты графика функциипри   xc + 0

Прямую

x = с

называют вертикальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к   с   слева, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (dc)   и выполнено соотношение

вертикальные асимптоты графика функциипри   x → c – 0

ПРИМЕР 1. Прямая

x = 2

является вертикальной асимптотой графика функции

вертикальные асимптоты графика функции

как справа, так и слева (рис. 1)

вертикальные асимптоты графика функции

Рис.1

ПРИМЕР 2. Прямая

x = 0

является вертикальной асимптотой графика функции

y = ln x

при   x ,   стремящемся к   0   справа (рис. 2)

вертикальные асимптоты графика функции

Рис.2

Наклонные асимптоты

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Прямую

y = kx + b

называют наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к наклонные асимптоты графика функции, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале наклонные асимптоты графика функции и существует предел

наклонные асимптоты графика функции

Прямую

y = kx + b

называют наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к наклонные асимптоты графика функции, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале наклонные асимптоты графика функции и существует предел

наклонные асимптоты графика функции

Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Прямую

y = b

называют горизонтальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале горизонтальные асимптоты графика функции и существует предел

горизонтальные асимптоты графика функции

Прямую

y = b

называют горизонтальной асимптотой графика функции   y  f (x)   при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале горизонтальные асимптоты графика функции и существует предел

горизонтальные асимптоты графика функции

ЗАМЕЧАНИЕ. Из определений 3 и 5 вытекает, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты   y = kx + b,   когда угловой коэффициент прямой   k = 0 .

ПРИМЕР 3. Прямая

y = 3

является горизонтальной асимптотой графика функции

горизонтальные асимптоты графика функции

как при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции, так и при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции (рис. 3)

горизонтальные асимптоты графика функции

Рис.3

ПРИМЕР 4. Прямая

y = 0

является горизонтальной асимптотой графика функции

y = 2x

при   x ,   стремящемся к горизонтальные асимптоты графика функции(рис. 4)

горизонтальные асимптоты графика функции

Рис.4

ПРИМЕР 5. График функции  y = arctg x   (рис.5)

горизонтальные асимптоты графика функции

Рис.5

имеет две горизонтальные асимптоты: прямая

горизонтальные асимптоты графика функции

является горизонтальной асимптотой графика функции при горизонтальные асимптоты графика функции, а прямая

горизонтальные асимптоты графика функции

является горизонтальной асимптотой графика функции при горизонтальные асимптоты графика функции.

Поиск наклонных асимптот графиков функций

Для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (или убедиться, что наклонной асимптоты при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотне существует), нужно совершить 2 операции.

Первая операция. Вычислим предел

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (1)

Если предел (1) не существует или существует, но равеннаклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотнаклонных асимптот нет.

Если предел (1) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   k ,  

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот

переходим ко второй операции.

Вторая операция. Вычислим предел

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (2)

Если предел (2) не существует или существует, но равеннаклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты графика функциинаклонных асимптот нет.

Если предел (2) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   b ,

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот

делаем вывод о том, что прямая

y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

Совершенно аналогично поступаем для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (или убедиться, что наклонной асимптоты при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотне существует).

Первая операция. Вычислим предел

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (3)

Если предел (3) не существует или существует, но равеннаклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты графика функциинаклонных асимптот нет.

Если предел (3) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   k ,

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот

переходим ко второй операции.

Вторая операция. Вычислим предел

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (4)

Если предел (4) не существует или существует, но равеннаклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты графика функциинаклонных асимптот нет.

Если предел (4) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   b ,

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот

делаем вывод о том, что прямая

y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

ПРИМЕР 5. Найти асимптоты графика функции

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот (5)

и построить график этой функции.

РЕШЕНИЕ. Функция (5) определена для всех наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптоти вертикальных асимптот не имеет.

Найдем наклонные асимптоты графика функции (5). При наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотполучаем

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот

Отсюда вытекает, что прямая

y = x

наклонная асимптота графика функции (5) при наклонные асимптоты графика функции.

При наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптотполучаем

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот

Отсюда вытекает, что прямая

y = – x

наклонная асимптота графика функции (5) при наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

Функция (5) является четной функцией, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.

Найдем производную функции (5):

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

Итак,   y' > 0   при   x > 0 ,   y' < 0   при   x < 0 ,   y' = 0   при   x = 0 .   Точка   x = 0   – стационарная, причем производная функции (5) при переходе через точку   x = 0   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = 0   – точка минимума функции (5). Других критических точек у функции (5) нет.

Теперь мы уже можем построить график функции (5):

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот

Рис.6

Заметим, что график функции (5) находится выше асимптот   y = x   и   y =– x ,   поскольку справедливо неравенство:

наклонные асимптоты горизонтальные асимптоты графика функции поиск наклонных асимптот.

Близкие по тематике разделы сайта

С материалами, связанными со свойствами функций и их пределами, можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

Примеры построения графиков функций и, в частности, с примеры поиска асимптот графика функции, можно посмотреть в учебных пособиях:

на странице  «Учебные материалы по математическому анализу для студентов МФТИ (1 курс, 1 семестр)».

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика