e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:


До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд




НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математикеУчебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрииУчебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физикеУчебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математикеУчебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачМатематика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеЭлектронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачАрифметикаЭлектронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачПроценты

Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки

кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньгиКредитное соглашение. Процентные деньги
годовая процентная ставкаГодовая процентная ставка
годовая процентная ставка простые процентыСхема простых процентов
годовая процентная ставка сложные процентыСхема сложных процентов
годовая процентная ставка плавающая процентная ставкаИзменяющиеся (плавающие) процентные ставки
простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка примеры решения задачПримеры решения задач
темп инфляции месячный темп инфляцииТемп инфляции

простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задач

Кредитное соглашение. Процентные деньги

      С того момента, как на Земле появились деньги, появились и люди, которые стали давать их в долг, извлекая из этого прибыль.

      Определение 1. Лицо, дающее деньги в долг, называют кредитором. Лицо, берущее деньги в долг, называют заёмщиком.

      Предоставление денег в долг происходит в соответствии с кредитным соглашением и осуществляется в различных формах: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, получение векселя, приобретение облигаций и т.д.

      При заключении кредитного соглашения кредитор и заемщик договариваются о размере кредита,  времени и способе его погашения, а также об уровне вознаграждения кредитора.

      Определение 2. Плату за предоставление денег в долг, т.е. разницу между деньгами, возвращаемыми заемщиком кредитору, и деньгами, данными кредитором заемщику в долг, называют процентными деньгами.

      Будем использовать следующие обозначения:

      Z   – сумма денег, данных кредитором заемщику в долг,

      K   – сумма денег, возвращаемая заемщиком кредитору,

      D   – процентные деньги.

      По определению 2

K = Z + D .(1)

      Будем рассматривать лишь такие кредитные соглашения, когда долг вместе с процентными деньгами (сумма   K )  возвращается заемщиком кредитору одним платежом в конце срока, установленного кредитным соглашением.

Годовая процентная ставка

      Определение 3. Годовой процентной ставкой называют отношение процентных денег к деньгам, данным кредитором заемщику в долг, при предоставлении ссуды сроком на 1 год.

      Будем обозначать буквами   P   и   p   годовую процентную ставку, выраженную в процентах и долях соответственно.

     По определению процентов

Электронный справочник по математике для школьников арифметика годовая процентная ставка ,

причем по определению годовой процентной ставки

Электронный справочник по математике для школьников арифметика годовая процентная ставка(2)

      Следствие 1. Если известны значения   p   и   Z ,   то, переписывая формулу (2) в виде

D = pZ ,

и, воспользовавшись формулой (1), получаем соотношение для вычисления суммы   K :

K = Z + D = Z + pZ ,

из которого следует, что при предоставлении ссуды на срок в 1 год

K = Z (1 + p) .(3)

      Следствие 2. Если известны значения   p   и   K ,   то из формулы (3) можно найти сумму   Z :

Электронный справочник по математике для школьников арифметика годовая процентная ставка(4)

Схема простых процентов

      Будем рассматривать случай, когда срок   t   возврата долга  выражается в годах, например,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика годовая процентная ставка(года) ,   t = 2 (года),   t = 3,4 (года),  ...

      Нашей целью является описание двух способов расчета сумм   K ,   возвращаемых заемщиком кредитору (расчеты по схемам простых и сложных процентов на основе процентной ставки).

      Отметим особо, что значения   p   и   Z   нам известны, а мы вычисляем суммы   K.

      Определение 4. Расчет по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор за каждый год предоставленного кредита получает одни и те же процентные деньги, которые составляют   P   процентов от суммы долга   Z ,   выплаченной заемщику.

      Рассмотрим сначала случай, когда кредит с расчетом по схеме простых процентов предоставляется на целое число лет, и обозначим символами   K1 , K1 , ... , Kn   суммы, возвращаемые заемщиком кредитору (с учетом процентных денег) за пользование кредитом в течение   t = 1, 2, ... , n   лет соответственно.

      В силу определения 4

K1 = Z + pZ ,

K2 = Z + 2pZ = K1 + pZ ,

...

Kn = Z + npZ = Kn – 1 + pZ ,

откуда вытекает

      Следствие 3. Суммы   K1 , K1 , ... , Kn ,   возвращаемые заемщиком кредитору (с учетом процентных денег) за пользование кредитом по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки в течение   t = 1, 2, ... , n   лет, определяются по формуле

Km = Z (1 + mp) ,   m = 1, 2, ... , n(5)

и составляют арифметическую прогрессию с первым членом   Z (1 + p)   и разностью   pZ .

      Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда кредит с расчетом по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки предоставляется на произвольное (не обязательно целое) число лет   t   (в годах), и, обобщая соотношение (5), сформулируем следующее

      Утверждение 1. Если кредитное соглашение предусматривает расчет по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки, то по прошествии   t   лет кредитор получает от заемщика сумму

K (t) = Z (1 + pt) ,(6)

а процентные деньги вычисляются по формуле

D (t) = Z (1 + pt) – Z = Zpt .

      Замечание 1. При   t = n ,   т.е. в случае, когда кредит предоставляется на целое число лет, расчеты по формулам (5) и (6) совпадают.

Схема сложных процентов

      Определение 5Расчет по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор  за каждый год предоставленного кредита получает процентные деньги, которые составляют   P   процентов  от всей накопленной к началу этого годасуммы долга (с учетом процентных денег).

      Поступая по аналогии с простыми процентами, рассмотрим сначала случай,  когда кредит с расчетом по схеме сложных процентов предоставляется на целое число лет, и обозначим символами   K1 , K1 , ... , Kn   суммы, возвращаемые заемщиком кредитору  за пользование кредитом в течение   t = 1, 2, ... , n   лет соответственно.

      В силу определения 6

K1 = Z (1 + p) ,

K2 = Z (1 + p)2 = K1 (1 + p) ,

...

Kn = Z (1 + p)n = Kn – 1 (1 + p) ,

откуда  вытекает

      Следствие 4. Суммы   K1 , K1 , ... , Kn ,   возвращаемые заемщиком кредитору (с учетом процентных денег) за пользование кредитом по схеме сложных процентов с годовой процентной ставкой  в течение   t = 1, 2, ... , n   лет, определяются соотношением

Km = Z (1 + p)m ,   m = 1, 2, ... , n(7)

и составляют геометрическую прогрессию с первым членом   Z (1 + p)   и знаменателем   (1 + p) .

      Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда кредит с расчетом по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки предоставляется на произвольное (не обязательно целое) число лет   t   (в годах), и, обобщая соотношение (7), сформулируем следующее

      Утверждение 2. Если кредитное соглашение предусматривает расчет по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки, то, по прошествии   t   лет, кредитор получает от заемщика сумму

K (t) = Z (1 + p)t ,(8)

а процентные деньги вычисляются по формуле

D (t) = Z (1 + p)tZ .

Изменяющиеся (плавающие) процентные ставки

      В следующих двух примерах кредит (ссуда) предоставляется на основе  изменяющихся (плавающих) процентных ставок.

      Пример 1. Заемщик получил ссуду в   1000000   рублей, которую должен погасить одним платежом через   0,75   года. Расчет производится по схеме простых процентов, причем первые   0,25   года годовая процентная ставка равна   12% ,   а в оставшееся время годовая процентная ставка равна   16% .   Найти сумму, возвращаемую кредитору, и процентные деньги.

      Решение. Поскольку при расчетах по схеме простых процентов на основе процентной ставки процентные деньги начисляются на сумму долга   Z   по формуле (6) , то

K (t) = Z (1 + p1t1 + p2t2) ,

где

p1 = 0,12 ;   t1 = 0,25 ;   p2 = 0,16 ;   t2 = 0,5 .

      Таким образом

Электронный справочник по математике для школьников арифметика годовая процентная ставка плавающая процентная ставка,

D = KZ = 1100000 – 1000000 = 100000 .

      Ответ. Заемщик возвращает кредитору   1100000   рублей, процентные деньги равны   100000   рублей.

      Пример 2. Заемщик получил ссуду в   1000000   рублей, которую должен погасить одним платежом через   5   лет. Расчет производится по схеме сложных процентов, причем первые   2   года годовая процентная ставка равна   12% ,   а в оставшееся время годовая процентная ставка равна   16% .   Найти сумму, возвращаемую кредитору, и процентные деньги.

      Решение. Поскольку при расчетах по схеме сложных процентов на основе процентной ставки процентные деньги за каждый год начисляются на всю накопленную к этому моменту сумму долга по формуле (8), то

Электронный справочник по математике для школьников арифметика годовая процентная ставка плавающая процентная ставка,

где

p1 = 0,12 ;   t1 = 2 ;   p2 = 0,16 ;   t2 = 3 .

      Таким образом

K = 1000000 (1 + 0,12)2 (1 + 0,16)3 = 1957987,94 ;

D = KZ = 1957987,94 – 1000000 = 957987,94 .

      Ответ. Заемщик возвращает кредитору   1957987,94   рублей, процентные деньги равны   957987,94   рублей.

Примеры решения задач

      Задача 1. Предприниматель обратился в банк с просьбой о предоставлении  ссуды в размере   1000000   рублей сроком на   1   год. Банк выделил ему эту ссуду с годовой процентной ставкой в   20% ,   при условии погашения ссуды одним платежом в конце срока.  Какую сумму должен через год возвратить предприниматель банку?  Какие процентные деньги получит банк?

      Решение. В задаче известны значения   Z   и   p ,   а найти нужно   K   и   D .   Поскольку

Z = 1000000 ;   p = 0,2 ;

а предприниматель возвращает банку сумму   K ,   равную

Z + 20%   от   Z ,

то есть

120%   от   Z ,

то

K = 1,2Z =1200000 ,   D = 200000 .

      Ответ. Предприниматель возвращает банку   1200000   рублей, процентные деньги банка равняются   200000   рублей.

      Задача 2. По истечении первого месяца цена товара увеличилась на   30% ,   а по истечении следующего месяца цена товара уменьшилась на   10% .   На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара за   2   месяца?

      Решение. Обозначим первоначальную цену товара буквой   a .   По истечении первого месяца цена товара стала равной   1,3 a .   По условию задачи за второй месяц новая цена товара (база для вычисления процентов), равная   1,3 a ,   уменьшилась на   10%   и стала равной

Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка примеры решения задач,

      Ответ. Первоначальная цена товара за   2   месяца увеличилась на   17% .

      Задача 3. Цена товара увеличилась на   25% .   На сколько процентов нужно снизить цену товара, чтобы она стала первоначальной?

      Решение. Обозначим первоначальную цену товара буквой   c .   После увеличения на   25%   новая цена товара стала равной   1,25 c .   Следовательно, для того, чтобы вернуться к первоначальному уровню   c ,   новая цена товара (база для вычисления процентов), должна уменьшиться на сумму   0,25 c .   Таким образом, мы должны определить, сколько процентов составляет число   0,25 c   от числа   1,25 c :

Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка примеры решения задач

      Ответ. Цену товара нужно снизить на   20% .

      Задача 4. Банковский вклад, нетронутый в течение года, в конце этого года увеличивается на   10% .   На сколько процентов увеличится вклад, нетронутый в течение трех лет?

      Решение. Обозначим первоначальную сумму вклада буквой   Z   и проведем расчет по схеме сложных процентов.  Используя формулу (8), находим

K (3) = Z (1 + 0,1)3 = 1,331 Z

      Таким образом, денежная сумма   Z ,   нетронутая в течение трех лет, увеличивается на сумму   0,331 Z ;   то есть на   33,1% .

      Ответ. Вклад увеличится на   33,1% .

Темп инфляции

      Определение 8. Месячным темпом инфляции называют такое количество процентов, на которое возрастают цены товаров за месяц, по сравнению с предыдущим месяцем.

      Задача 5. Месячный темп инфляции равен   5% .   На сколько процентов возрастают цены за год?

      Решение. Инфляция является процессом, развивающимся по схеме сложных процентов.   Если обозначить цену товара в первый день года буквой   Z ,   то, используя формулу (8), находим цену товара через 12 месяцев:

K (12) = Z (1 + 0,05)12 = 1,7959 Z

      Следовательно, с начала года цена товара   Z   увеличилась на сумму   0,7959 Z ;   т.е. увеличилась на   79,59% .

      Ответ. Цены вырастают за год на   79,59% .

      Замечание 2. Если бы мы для решения этой задачи вместо формулы (8) применили формулу (6), которая относится к расчету по схеме простых процентов, что является серьёзной ошибкой, то мы бы получили неверный ответ, свидетельствующий о том, что при месячном темпе инфляции в   5%   цены за год вырастают на   60% .

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

      Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».

      Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».

      Методы решения задач на смеси, сплавы и растворы, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на смеси, сплавы и растворы».

      С методами, используемыми при решении задач на движение, можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента»проводит

Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задачподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые проценты сложные проценты годовая процентная ставка кредитное соглашение кредитор заемщик ссуда процентные деньги плавающая процентная ставка темп инфляции месячный темп инфляции примеры решения задач индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

      С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ (ГИА), опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования