e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:


До ЕГЭ по математике осталось
днейчасов минут секунд




НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избыткомЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
 вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
 вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избыткомОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеЭлектронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избыткомАрифметикаЭлектронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избыткомРациональные и
иррациональные числа

Понятие о вещественных (действительных) числах, рациональные и иррациональные числа

вещественные числа рациональные и иррациональные числаРациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах
годовая процентная ставкаИррациональность числа Справочник по математике для школьников арифметика вещественные действительные числа
 вещественные действительные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избыткомДесятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

      Целые числа и рациональные дроби (простые дроби и смешанные числа) составляют множество рациональных чисел, которое принято обозначать буквой   Q .

      Каждое из рациональных чисел можно представить в виде

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа,

где   m   – целое число, а   n   – натуральное число.

      При обращении рациональных дробей в десятичные дроби получаются конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

      Числа

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа

и т.п. являются примерами иррациональных чисел.

      Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.

      При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.

      Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.

      Множество вещественных чисел обозначают буквой   R .  

Иррациональность числа Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа

      Проведем доказательство иррациональности числа Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа является рациональным числом. Тогда существует дробь вида

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа,

удовлетворяющая равенству

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа

и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.

      Используя данное равенство, получаем:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа

      Отсюда вытекает, что число   m2  является четным числом, а, значит, и число   m   является четным числом. Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число   m   является нечетным числом, то найдется такое целое число   k ,   которое удовлетворяет соотношению

  m = 2k + 1 .  

Следовательно,

m2 = (2k + 1)2 = 4m2 + 4k +1 ,

т.е.   m   является нечетным числом. Полученное противоречие доказывает, что число   m   является четным числом. Значит, найдется такое целое число   k ,  которое удовлетворяет соотношению

m = 2k .

      Поэтому,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа

      Отсюда вытекает, что число   n2  является четным, а, значит, и число   n   является четным числом.

      Итак, число   m   является четным, и число   n   является четным, значит, число   2   является общим делителем числителя и знаменателя дроби

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа.

      Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа

не существует. Следовательно, число Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа является иррациональным числом, что и требовалось доказать.

Десятичные приближения иррациональных чисел
с недостатком и с избытком

      Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

      Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической  десятичной дробью.

      Последовательностью десятичных приближений числаЭлектронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т.д.

      Если последний десятичный знак  каждого десятичного приближения  числа с недостатком увеличить на   1 ,   то получится десятичное приближение числа с избытком.

      Само число Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.

      Для числа Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

и т.д.

      Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Электронный справочник по математике для школьников вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избыткомподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избыткоминдивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


      Яндекс цитирования