e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часовминутсекунд



Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математикеУчебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физикеУчебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Готовитесь
к ОГЭ (ГИА)?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников

золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеЭлектронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииАрифметикаЭлектронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииЗолотое отношение

Золотое отношение (золотое сечение)

золотое отношение золотое сечение золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииЗолотое отношение (золотое сечение)
золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииПравильный пятиугольник и его связь с золотым отношением

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Золотое отношение (золотое сечение)

      Рассмотрим отрезок   AB   и точку   C ,   расположенную внутри него.

Электронный справочник по математике для школьников золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Говорят, что точка   C   делит отрезок   AB   в золотом отношении (золотом сечении), если длина отрезка   AB   так относится к длине отрезка   AC ,   как длина отрезка   AC   относится к длине отрезка   CB .   При этом самим золотым отношением (золотым сечением) называют отношение длины отрезка   AB   к длине отрезка   AC .

      Термин «золотое отношение» имеет ряд синонимов: золотое сечение, золотая пропорция, гармоническая пропорция, золотое число, деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

      Следуя исторической традиции, будем золотое отношение обозначать символом   φ .   Для того, чтобы найти значение   φ ,   введем для длин отрезков   AB   и   AC   обозначения:

  |AB| = x,       |AC| = y .   

      Тогда длина отрезка   CB   будет выражена формулой:

 |CB| = x – y ,

причем числа   x   и   y   будут удовлетворять неравенствам:

x > 0,       y > 0,       x – y > 0.

      В случае, когда точка   C   делит отрезок   AB   в золотом отношении, числа   x   и   y   удовлетворяют уравнению:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

где

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Выведем уравнение для переменной   φ :

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Следовательно,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Поскольку   φ > 1 ,  то второй корень должен быть отброшен.

      Итак, золотое отношение

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

что и требовалось получить.

Правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением

      Золотое отношение (золотое сечение) встречается в различных областях человеческой деятельности: в скульптуре, архитектуре, живописи, музыке и т.д.

      Приведем пример использования золотого отношения в планиметрии. Для этого рассмотрим правильный пятиугольник   A1A2A3A4A5 ,   вписанный в окружность радиуса   R   с центром   O .

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Заметив, что длины всех диагоналей пятиугольника равны, обозначим длину стороны пятиугольника символом   y ,   а длину диагоналей символом   x .

      Теперь рассмотрим треугольник   A1A3A5 .   Этот треугольник является равнобедренным треугольником с основанием   A1A5   и боковыми сторонами   A1A3   и   A3A5 ,   причем

  A1A5 = y,       A1A3 = A3A5 = x .

      Кроме того,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Следовательно,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Теперь, воспользовавшись тем, что

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

применим для треугольника   A1A3A5   теорему косинусов:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

     Разделив это равенство на   y2,   и заметив, что

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

получим соотношение:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      Если в этом соотношении ввести, для упрощения записи, переменную   d   по формуле

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение

то возникает уравнение:

d 3 – 2d 2 + 1 = 0.

      Для того, чтобы решить это уравнение, разложим его левую часть на множители:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

      В силу того, что

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

то первый и второй корни должны быть отброшены. Следовательно,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

т.е. является золотым отношением.

      В результате мы получили, что, во-первых, отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне правильного пятиугольника равно золотому отношению, а, во-вторых, что для самого золотого отношения справедлива формула:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

     На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношениииндивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования