Mосква, Северо-восток

Числа Фибоначчи

Справочник по математике для школьников алгебра определение последовательности ФибоначчиОпределение последовательности Фибоначчи
Справочник по математике для школьников алгебра вывод формулы для общего члена последовательности ФибоначччиВывод формулы для общего члена последовательности Фибоначччи
Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

Определение чисел Фибоначчи

      Последовательностью (числами) Фибоначчи называют возвратную последовательность 2-го порядка, определяемую рекуррентной формулой

xn = xn – 1 + xn – 2 ,       n > 2(1)

с начальными условиями

x1 = 1,       x2 = 1 .(2)

      Другими словами, последовательность Фибоначчи - это такая последовательность, у которой первые два члена равны 1, а каждый член, начиная с третьего члена, равен сумме двух предыдущих членов.

      Таким образом, числа

1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55  

являются первыми десятью членами последовательности Фибоначчи.

      Замечание. Определения возвратной последовательности, рекуррентной формулы, характеристического уравнения и формулы для общего решения рекуррентных уравнений приведены в разделе «Возвратные последовательности: рекуррентная формула, характеристическое уравнение» нашего справочника.

Вывод формулы общего члена последовательности Фибоначчи

      Нашей целью является вывод формулы общего члена последовательности Фибоначчи. Чтобы получить эту формулу, будем действовать в соответствии со схемой, изложенной в разделе «Возвратные последовательности: вывод формулы общего члена».

  1. Характеристическое уравнение для последовательности (1) имеет вид

    λ2 – λ – 1 = 0 .

    Найдем его корни:

    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

  2. Поскольку корни характеристического уравнения вещественные и различные, то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид

    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

    где c1 и c2 произвольные действительные числа.

  3. Найдем теперь значения произвольных постоянных c1 и c2 так, чтобы для последовательности

    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи(3)

    выполнялись начальные условия (2). Это означает, что числа c1 и c2 должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

  4. Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

  5. Решим полученную систему уравнений:
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

          Для того, чтобы решить последнюю систему, вычтем первое уравнение из второго уравнения, оставив первое уравнение без изменений:

    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
  6. Подставляя найденные значения произвольных постоянных c1 и c2 в формулу (3), получаем искомую формулу общего члена последовательности Фибоначчи:

    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

      Замечание. Число

Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

входящее в формулу общего члена последовательности Фибоначчи, является золотым отношением.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчиподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчииндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования