Комбинаторика: размещения и сочетания

     При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия

Справочник по математике для школьников алгебра Комбинаторика факториалыФакториалы
Справочник по математике для школьников алгебра Комбинаторика перестановкиПерестановки
Справочник по математике для школьников алгебра Комбинаторика размещенияРазмещения
Справочник по математике для школьников алгебра Комбинаторика сочетанияСочетания
Комбинаторика размещения и сочетания

Размещения

      Рассмотрим следующую задачу.

      Задача.   9   карточек пронумерованы числами   1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .   Из этих карточек четыре наугад взятых карточки выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных четырехзначных чисел?

      Решение.Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое.

      На первое место можно положить одну из   9   карточек. Для этого есть   9   способов. В каждом из этих   9   способов на второе место можно положить одну из оставшихся   8   карточек. Таким образом, существует

Комбинаторика размещения и сочетания

способа, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих   72   способов на третье место можно положить одну из оставшихся   7   карточек. Следовательно, существует

Комбинаторика размещения и сочетания

способа, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих   504   способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся   6   карточек. Отсюда вытекает, что существует

Комбинаторика размещения и сочетания

различных способа, чтобы выложить в ряд   4   карточки из набора, состоящего из   9   пронумерованных карточек. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить   3024   различных четырехзначных числа.

      Ответ:   3024.

      При решении задачи мы провели подсчет числа способов раскладывания карточек, который является частным случаем общего метода подсчета числа размещений и заключается в следующем.

      Определение 1. Рассмотрим множество, содержащее   n   элементов, и все его упорядоченные подмножества, содержащие   k   элементов. Каждое из этих подмножеств называют размещением из   n   элементов по   k   элементов.

      Если обозначить символом Комбинаторика размещения и сочетания число размещений из   n   элементов по   k   элементов, то будет справедлива формула:

Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
(1)

      В соответствии с определением факториала, формулу (1) можно также записать в виде:

Комбинаторика размещения и сочетания

      В задаче множеством из   n   элементов является исходный набор из   9   пронумерованных карточек, а упорядоченным подмножеством из   k   элементов –   4   карточки, выложенные в ряд.

      Таким образом, при решении задачи мы на частном примере подсчитали, чему равно число размещений из   9   элементов по   4   элемента, т.е. число Комбинаторика размещения и сочетания

      В соответствии с формулой (1),

Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания

что и было получено в задаче.

      Замечание 1. Введенные в данном разделе размещения также называют размещениями без повторений.

      Замечание 2. Из формул для числа перестановок и числа размещений вытекает формула

Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания

смысл которой заключается в следующем.

      Утверждение. Размещение из   n   элементов по   n   элементов является перестановкой из   n   элементов.

Сочетания

      Определение 2. Рассмотрим множество, состоящее из   n   элементов. Каждое его подмножество, содержащее   k   элементов, называют сочетанием из   n   элементов по   k   элементов.

      Число сочетаний из   n   элементов по   k   элементов обозначается символом Комбинаторика размещения и сочетания

      Замечание 3. Важно отметить, что, в отличие от определения размещений, рассмотренные в определении сочетаний подмножества, содержащие   k   элементов, не являются упорядоченными. Поэтому, если в каждом подмножестве, содержащем   k   элементов (из определения 2), совершить всевозможные перестановки, количество которых равно   k ! ,   то мы получим все размещения.

      Таким образом, справедлива формула:

Комбинаторика размещения и сочетания

      Следовательно,

Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания

откуда вытекает формула

Комбинаторика размещения и сочетания(2)

      Теперь рассмотрим несколько примеров подсчета числа сочетаний, которые непосредственно вытекают из формулы (2):

Комбинаторика размещения и сочетанияКомбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетанияКомбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетания
Комбинаторика размещения и сочетанияКомбинаторика размещения и сочетания

      В заключение приведем часто используемое равенство, также непосредственно вытекающее из формулы (2):

Комбинаторика размещения и сочетания

      Замечание 4. С разделом справочника «Сочетания» близко связан раздел «Бином Ньютона», где приведены и доказаны свойства чисел сочетаний.

   С понятиями факториала числа   n   и перестановок из   n   элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: факториалы и перестановки» нашего справочника.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия





НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика