e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по математике (11 класс) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки школьников 11 класса к ЕГЭ по физике в СВАО Москва Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



Взаимное расположение двух прямых в пространстве пересекающиеся прямые параллельные прямые скрещивающиеся прямые признак скрещивающихся прямых угол между скрещивающимися прямыми ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Взаимное расположение двух прямых в пространстве пересекающиеся прямые параллельные прямые скрещивающиеся прямые признак скрещивающихся прямых угол между скрещивающимися прямымиТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Взаимное расположение двух прямых в пространстве пересекающиеся прямые параллельные прямые скрещивающиеся прямые признак скрещивающихся прямых угол между скрещивающимися прямыми ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Взаимное расположение двух прямых в пространстве пересекающиеся прямые параллельные прямые скрещивающиеся прямые признак скрещивающихся прямых угол между скрещивающимися прямыми ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru


НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Взаимное расположение двух прямых в пространстве пересекающиеся прямые параллельные прямые скрещивающиеся прямые угол между скрещивающимися прямыми признак скрещивающихся прямых Геометрия (Стереометрия)

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Признак скрещивающихся прямых.
Угол между скрещивающимися прямыми

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

      Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в следующей таблице.

Фигура

Рисунок

Определение

Две пересекающиеся прямые

Пересекающиеся прямые

Две прямые называют пересекающимися прямыми, если они имеют единственную общую точку.

Две параллельные прямые

Параллельные прямые

Две прямые называют параллельными прямыми, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек

Две скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые

Две прямые называют скрещивающимися прямыми, если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

      С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в следующей таблице.

Фигура

Рисунок

Тип утверждения и формулировка

Две различные точки

Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками

Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками
Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.

Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой

Аксиома о существовании и единственности параллельной прямой

Аксиома о параллельных прямых
Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.

Две пересекающиеся прямые

Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми

Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Две параллельные прямые

Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми

Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми
Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Признак скрещивающихся прямых

      Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).

Признак скрещивающихся прямых

Рис.1

      Доказательство. Напомним, что две прямые называют скрещивающимися, если не существует плоскости, содержащей обе эти прямые, и будем доказывать признак скрещивающихся прямых методом «От противного».

      Для этого предположим, что прямая   a,   пересекающая плоскость в точке K, и прямая b, лежащая в плоскости   α  (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой  β  и докажем, что плоскость  β   совпадает с плоскостью  α.  Действительно, поскольку обе плоскости   α   и   β проходят через прямую b и точку K, не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости.  Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость, а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено.

Угол между скрещивающимися прямыми

     Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым (рис. 2).

Угол между скрещивающимися прямыми

Рис.2

     На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые   a  и   b. Прямая a' параллельна прямой a, прямая b' параллельна прямой b. Прямые a' и b' пересекаются. Угол   φ  и является углом между скрещивающимися прямыми   a  и   b.

      Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между прямыми AB1 и BC1.

      Решение. Поскольку прямая AB1 пересекает плоскость BB1C1 в точке B1, которая не лежит на прямой BC1, то по признаку скрещивающихся прямых прямые AB1 и BC1 скрещиваются (рис. 3).

Угол между скрещивающимися прямыми Примеры решения задач

Рис.3

      Для того, чтобы найти угол между прямыми AB1 и BC1, проведем в кубе диагональ боковой грани
AD1 и диагональ верхнего основания D1B1 (рис. 4).

Угол между скрещивающимися прямыми Примеры решения задач

Рис.4

      По определению угла между скрещивающимися прямыми угол D1AB1 и является углом между прямыми AB1 и BC1. Поскольку треугольник AD1B1 равносторонний, угол D1AB1 равен 60°.

      Ответ. 60°.

      Замечание. Для более глубокого усвоения понятия «Скрещивающиеся прямые» рекомендуем ознакомиться с разделами нашего сайта «Свойства скрещивающихся прямых» и «Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости».

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Взаимное расположение двух прямых в пространстве пересекающиеся прямые параллельные прямые скрещивающиеся прямые признак скрещивающихся прямых угол между скрещивающимися прямыми курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Взаимное расположение двух прямых в пространстве пересекающиеся прямые параллельные прямые скрещивающиеся прямые признак скрещивающихся прямых угол между скрещивающимися прямыми индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования