e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


ЕГЭ
по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы
с математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно
с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



Решение рациональных неравенств метод интерваловЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение рациональных неравенств метод интерваловОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение рациональных неравенств метод интерваловЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение рациональных неравенств метод интерваловТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н..
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеРешение рациональных неравенств метод интерваловАлгебраРешение рациональных неравенств метод интерваловКоординатная плоскость

Решение рациональных неравенств. Метод интервалов

      Определение. Рациональным неравенством называют такое неравенство, которое при помощи равносильных преобразований сводится к одному из следующих неравенств

Решение рациональных неравенств метод интервалов

где   P(x)   и   Q(x)   – многочлены.

     Для решения рациональных неравенств часто используют удобный способ, который получил название «метод интервалов». Продемонстрируем применение метода интервалов на примерах.

      Пример 1. Решить неравенство

Решение рациональных неравенств метод интервалов (1)

      Решение. Вводя обозначение

Решение рациональных неравенств метод интервалов (2)

перепишем неравенство (1) в виде

Решение рациональных неравенств метод интервалов(3)

      Заметим, что и числитель, и знаменатель дроби из правой части формулы (2) являются произведением выражений типа

(x – a)k, (4)

где   a   – вещественное число, а   k   – натуральное число. Действительно, произведение выражений

Решение рациональных неравенств метод интервалов(5)

равно числителю дроби (2), а произведение выражений

Решение рациональных неравенств метод интервалов (6)

равно знаменателю дроби (2).

      В случае, когда показатель степени k   в формуле (4) является нечётным числом, выражение (4) отрицательно для всех значений   x,   лежащих на числовой осислева от числа   a,   и положительно для всех значений   x,   лежащих на числовой оси справа от числа   a.

      В случае, когда показатель степени k   в формуле (4) является чётным числом, выражение (4) положительно для всех значений   x,   отличных от числа   a.

      Следовательно, если отметить на числовой оси числа

Решение рациональных неравенств метод интервалов, (7)

играющие роль числа   a   из формулы (4) в выражениях (5), а также отметить на числовой оси числа

Решение рациональных неравенств метод интервалов, (8)

играющие роль числа   a   из формулы (4) в выражениях (6), то внутри каждого из промежутков, полученных на числовой оси, функция (2) будет сохранять свой знак. Другими словами, внутри каждого из полученных промежутков числовой оси значения функции (2) будут или положительными, или отрицательными.

      Для того, чтобы воспользоваться этим рассуждением, отметим на числовой оси в нужном порядке числа (7) и (8), причём числа (7) изобразим закрашенными кружками, а числа (8) – незакрашенными кружками (рис.1).

Решение рациональных неравенств метод интервалов
Рис.1

      Перейдём от рисунка (1) к рисунку (2).

Решение рациональных неравенств метод интервалов
Рис.2

      На рисунке (2) подчёркнуты числа   3   и   4,   то есть те из чисел (7) и (8), которым соответствуют чётныепоказатели степени в выражениях (5) и (6). Действительно, числам   3   и   4   соответствуют чётные показатели степени в выражениях (5) и (6), поскольку числу   3   соответствует выражение

(x – 3 )100

с показателем степени   100,   а числу   4   соответствует выражение

(x – 4 )2

с показателем степени   2 .

      Нанесем на рисунок 2 волновую линию, начиная от правого верхнего угла рисунка и двигаясь влево (рис.3) .

Решение рациональных неравенств метод интервалов
Рис.3

      Мы начинаем вести волновую линию от правого верхнего угла рисунка, поскольку справа от всех точек (7) и (8) функция (2) принимает положительные значения.

      Заметим, что волновая линия на рисунке (3) вблизи от подчёркнутых точек 3 и 4 располагается по одну сторону от числовой оси, а в точках

Решение рациональных неравенств метод интервалов (9)

которым соответствуют нечётныепоказатели степени в выражениях (5) и (6), пересекает числовую ось и вблизи от этих точек располагается по разные стороны от числовой оси.

      Важно отметить, что значения функции (2) внутри каждого из промежутков имеют один и тот же знак. При переходе от промежутка к соседнему промежутку через точки (9), которым соответствуют нечётные показатели степени в выражениях (5) и (6), значения функции (2) меняют знак на противоположный. При переходе от промежутка к соседнему промежутку через точки   3   и   4,   которым соответствуют чётные показатели степени в выражениях (5) и (6), значения функции (2) знак не изменяют.

      Нанесем на рисунок 3 знаки   « + »   и   « – »,   как показано на рисунке 4.

Решение рациональных неравенств метод интервалов
Рис.4

      На промежутках, отмеченных знаком   « + »,   функция (2) принимает положительные значения. На промежутках, отмеченных знаком   « – »,   функция (2) принимает отрицательные значения. Отсюда вытекает, что решением неравенства (1) является объединение промежутков, отмеченных знаком   « – »,   поскольку именно на этих промежутках функция (2) принимает отрицательные значения. Для завершения решения примера остаётся лишь добавить, что концы промежутков

Решение рациональных неравенств метод интервалов

отмеченные на рисунках закрашенными кружками, входят в ответ задачи, а концы промежутков

Решение рациональных неравенств метод интервалов

отмеченные на рисунках незакрашенными кружками, не входят в ответ задачи.

      Ответ:   Решение рациональных неравенств метод интервалов

      Пример 2. Решить неравенство

Решение рациональных неравенств метод интервалов (10)

      Решение. Преобразуем неравенство (10) к такому виду, чтобы можно было применить метод интервалов:

Решение рациональных неравенств метод интервалов

      Неравенство

Решение рациональных неравенств метод интервалов (11)

имеет вид (1). Решим его методом интервалов. Для этого отметим незакрашенными кружками числа

Решение рациональных неравенств метод интервалов

Решение рациональных неравенств метод интервалов
Рис.5

      Рис.5

      Проведём волну, начиная движение от правого верхнего угла, и отметим знаками   « + »   и   « – »   промежутки числовой оси (рис.6)

Решение рациональных неравенств метод интервалов
Рис.6

      Решением неравенства (11) являются промежутки, отмеченные знаком   « – » .   Концы промежутков в ответ не входят. 

      Ответ: Решение рациональных неравенств метод интервалов

      Замечание. Рекомендуем ознакомиться с нашим учебным пособием «Решение рациональных неравенств», близко связанным с материалом данного раздела справочника.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Решение рациональных неравенств метод интерваловподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Решение рациональных неравенств метод интерваловиндивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования