e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеПодобие треугольников коэффициент подобия признаки подобия треугольников признаки подобия прямоугольных треугольниковГеометрия (Планиметрия)

Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников

Подобные треугольники

      Рассмотрим два треугольника KLM и TRP (рис.1) и введём следующие обозначения.

Подобные треугольники

Рис.1

      Обозначим

a1 ,   b1 ,   c1

длины сторон треугольника KLM, расположенные в порядке возрастания.

      Обозначим

a2 ,   b2 ,   c2

длины сторон треугольника TRP, расположенные в порядке возрастания.

      Переобозначим вершины треугольников KLM и TRP так, как показано на рисунке 2.

Подобные треугольники

Рис.2

      На рисунке 2 треугольник KLM обозначается как треугольник A1B1C1, а треугольник TRP обозначается как треугольник A2B2C2.

      Определение 1. В треугольниках A1B1C1 и A2B2C2, изображённых на рисунке 2, 

  • вершиныA1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 называют сходственными вершинами,
  • стороны A1B1 и A2B2, A1C1 и A2C2, B1C1 и B2C2 называют сходственными сторонами,
  • углы A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 называют сходственными углами

      Определение 2. Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 называют подобными треугольниками, если их

сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

      Другими словами, треугольники A1B1C1 и A2B2C2подобны, если, во-первых,

Признаки подобия треугольников

а, во-вторых, существует положительное число k, такое, что справедливы равенства:

a1 = k a2 ,   b1 = k b2 ,   c1 = k c2 .(1)

      Определение 3. В случае, когда треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны, число k, заданное формулами (1),называют коэффициентом подобия треугольников A1B1C1 и A2B2C2.

Признаки подобия треугольников

Название признакаРисунокФормулировка признака

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Признаки подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по двум углам

Признаки подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Признаки подобия треугольников

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Название признакаРисунокФормулировка признака

Признак подобияпрямоугольных треугольников по двум катетам

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобияпрямоугольных треугольников по острому углу

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

Признак подобияпрямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.

      Следствие 1. Прямая, пересекающая треугольник и параллельная стороне треугольника, отсекает от этого треугольника подобный треугольник (рис. 3).

Подобные треугольники

Рис.3

      Следствие 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (рис. 4)

Подобные треугольники отношение площадей

Рис.4

     

Признаки подобия треугольников

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Подобие треугольников коэффициент подобия признаки подобия треугольников признаки подобия прямоугольных треугольниковподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Подобие треугольников коэффициент подобия признаки подобия треугольников признаки подобия прямоугольных треугольниковиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования