Mосква, Северо-восток

Теорема Фалеса

      Теорема Фалеса. Через произвольные точки

A1A2,  …   An–1An,

лежащие на стороне AO угла AOB (рис.1), проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках

B1B2,  …  Bn–1Bn,

соответственно. Тогда справедливы равенства

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Рис.1

      Доказательство. Докажем сначала следующую лемму.

      Лемма. Через произвольную точку C, лежащую на стороне OA треугольника OAB, проведена прямая, параллельная прямой AB и пересекающая сторону OB в точке D (рис.2).

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Рис.2

      Тогда справедливо равенство

Теорема Фалеса доказательство(1)

      Доказательство леммыОпустим из точек A и B перпендикуляры AK и BL на прямую CD (рис.3). Заметим, что эти перпендикуляры равны, поскольку AKLB – прямоугольникпрямоугольник.

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Рис.3

      Из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую OA (рис.4).

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Рис.4

      Из точки C  опустим перпендикуляр CG на прямую OB (рис.5).

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Рис.5

      В соответствии с рисунком 4 площади треугольников OCD и ACD можно вычислить по формулам

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

      Следовательно,

Теорема Фалеса доказательство

      В соответствии с рисунком 5 площади треугольников OCD и BCD можно вычислить по формулам

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

      Следовательно,

Теорема Фалеса доказательство

      Кроме того, заметим, что площади треугольников ACD и BCD равны. Действительно, в соответствии с рисунком 3 справедливы формулы

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

      Следовательно,

SΔ ACD = SΔ BCD ,

откуда получаем цепочку равенств

Теорема Фалеса доказательство

что и завершает доказательство леммы.

      Воспользовавшись леммой, заметим (рис.1), что из равенства (1) вытекают равенства

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

откуда на основе свойств производных пропорций, заключаем, что справедливы равенства

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

что и завершает доказательство теоремы Фалеса.

      Следствие. Если через точки

A1A2,  …   An–1An,

лежащие на стороне AO угла AOB (рис.6) и удовлетворяющие условию

A1A2 = A2A3 = … =
=
An–2 An–1 = An–1An ,

проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках

B1B2,  …   Bn –1Bn ,

соответственно, то справедливы равенства

B1B2 = B2B3 = … =
=
Bn–2Bn–1 = Bn–1Bn ,

Теорема Фалеса доказательство
Теорема Фалеса доказательство

Рис.6

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Теорема Фалеса обобщенная доказательствоподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Теорема Фалеса обобщенная доказательствоиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования