e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд



НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеТеорема Фалеса обобщенная доказательствоГеометрия (Планиметрия)

Теорема Фалеса

      Теорема Фалеса. Через произвольные точки

A1A2,  …   An–1An,

лежащие на стороне AO  угла AOB  (рис.1), проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB  в точках

B1B2,  …  Bn–1Bn,

соответственно. Тогда справедливы равенства

Теорема Фалеса доказательство

Теорема Фалеса доказательство

Рис.1

      Доказательство. Докажем сначала следующую лемму.

      Лемма. Через произвольную точку C, лежащую на стороне OA треугольника OAB, проведена прямая, параллельная прямойAB и пересекающая сторону OB в точке D (рис.2).

Теорема Фалеса доказательство

Рис.2

      Тогда справедливо равенство

Теорема Фалеса доказательство(1)

      Доказательство леммыОпустим из точек A и B перпендикуляры AK и BL на прямую CD (рис.3). Заметим, что эти перпендикуляры равны, поскольку AKLB – прямоугольник.

Теорема Фалеса доказательство

Рис.3

      Из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую OA (рис.4).

Теорема Фалеса доказательство

Рис.4

      Из точки C  опустим перпендикуляр CG на прямую OB (рис.5).

Теорема Фалеса доказательство

Рис.5

      В соответствии с рисунком 4 площади треугольников OCD и ACDможно вычислить по формулам

Теорема Фалеса доказательство

      Следовательно,

Теорема Фалеса доказательство

      В соответствии с рисунком 5 площади треугольников OCD и BCDможно вычислить по формулам

Теорема Фалеса доказательство

      Следовательно,

Теорема Фалеса доказательство

      Кроме того, заметим, что площади треугольников ACD и BCD равны. Действительно, в соответствии с рисунком 3 справедливы формулы

Теорема Фалеса доказательство

      Следовательно,

SΔ ACD = SΔ BCD ,

откуда получаем цепочку равенств

Теорема Фалеса доказательство

что и завершает доказательство леммы.

      Воспользовавшись леммой, заметим (рис.1), что из равенства (1) вытекают равенства

Теорема Фалеса доказательство

откуда на основе свойств производных пропорций, заключаем, что справедливы равенства

Теорема Фалеса доказательство

что и завершает доказательство теоремы Фалеса.

      Следствие. Если через точки

A1A2,  …   An–1An,

лежащие на стороне AO угла AOB (рис.6) и удовлетворяющие условию

A1A2 = A2A3 = … = An–2 An–1 = An–1An ,

проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках

B1B2,  …   Bn –1Bn,

соответственно, то справедливы равенства

B1B2 = B2B3 = … = Bn–2Bn–1 = Bn–1Bn ,

Теорема Фалеса доказательство

Рис.6

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Теорема Фалеса обобщенная доказательствоподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Теорема Фалеса обобщенная доказательствоиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования