e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:


До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ (ГИА)
Демонстрационные варианты ЕГЭ



ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


<

ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Векторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Векторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовОГЭ 2018. Математика. Два модуля: "Алгебра", "Геометрия". Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Векторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовОГЭ. Математика. 3000 задач с ответами. Задания части 1. Закрытый сегмент. Два модуля: "Алгебра", "Геометрия" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Векторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий + 800 дополнительных заданий части 2 - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Векторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовОГЭ 2018. Математика. Два модуля: "Алгебра", "Геометрия". Тематические тестовые задания. 15 вариантов заданий - Минаева С.С.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Векторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовЕГЭ. Математика. 1000 задач с ответами и решениями. Профильный уровень. Все задания части 2 - Сергеев И.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Векторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовОГЭ-2018. Математика. 36 вариантов. Типовые экзаменационные варианты - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Векторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Векторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовОГЭ 2018. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Векторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовПодготовка к ОГЭ 2018. Математика. Методические указания. Математика. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеВекторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовАлгебраВекторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовВекторы

Векторы

Справочник по математике для школьников алгебра понятие вектораПонятие вектора
Справочник по математике для школьников алгебра координаты вектораКоординаты вектора
Справочник по математике для школьников алгебра длина модуль вектораДлина вектора
Справочник по математике для школьников алгебра равенство векторовРавенство векторов
Справочник по математике для школьников алгебра умножение вектора на числоУмножение вектора на число
Справочник по математике для школьников алгебра сложение и вычитание векторовСложение и вычитание векторов
Справочник по математике для школьников алгебра скалярное произведение векторовСкалярное произведение векторов
Справочник по математике для школьников алгебра векторы примеры решения задачПримеры решения задач

Векторы коллинеарные векторы сонаправленные векторы координаты вектора длина вектора умножение вектора на число сложение векторов вычитание векторов скалярное произведение векторов

Понятие вектора

      Рассмотрим две произвольные точки. Если соединить эти точки стрелкой (рис.1),

Понятие  вектора

Рис.1

то мы получим вектор.

      Точку, из которой стрелка выходит, называют началом вектора. Точку, в которую стрелка входит, называют концом вектора.

      Чтобы отличить вектор от отрезка с концами в тех же точках, используют обозначение   Понятие  вектора   (рис.2) или   Понятие  вектора   (рис.3).

Понятие  вектораПонятие вектора
Рис.2Рис.3

      Иногда для вектора используют обозначения   Понятие вектора   (рис.4) или   Понятие вектора   (рис.5).

Понятие вектораПонятие вектора
Рис.4Рис.5

      Если две точки (начало и конец вектора) совпадают, то говорят, что эти точки задают нулевой вектор.

Координаты вектора

      Рассмотрим произвольный вектор   Понятие  вектора   и предположим, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат   Oxyz   (рис.6).

Координаты  вектора

Рис.6

      Если в системе координат   Oxyz   точки   A   и   B   имеют координаты

A = (a1; a2; a3)       и       B = (b1; b2; b3) , (1)

то координатами вектора   Координаты  вектор   называют набор чисел

Координаты  вектора(2)

      Этот определение часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора».

      Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной плоскости, в формулах (1) и (2) не будет третьих координат. Если же рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной прямой, то в формулах (1) и (2) останутся только первые координаты.

Длина вектора

      Длиной (модулем) произвольного вектора   Длина вектора   называют длину отрезка   AB

      Длина вектора   Длина модуль вектора,   координаты которого имеют вид

Длина модуль вектора

вычисляется по формуле

Длина модуль вектора (3)

      Этот факт часто формулируют так: «Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат».

      Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной плоскости, формула (3) принимает вид

Длина модуль вектора(4)

и совпадает с формулой, позволяющей найти расстояние между двумя точками координатной плоскости.

      В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной прямой, формулы (3) и (4) принимают вид

Длина модуль вектора.

Равенство векторов

      Векторы называют коллинеарными векторами, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

      Два вектора

Равенство векторов      и       Равенство векторов

являются коллинеарными векторами тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

      Другими словами, векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства

a1 = tb1,       a2 = tb2,       a3 = tb3.

      Два вектора называют сонаправленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 7.

      Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в одну сторону (концы векторов будут лежать на одном луче).

Координаты вектора

Рис.7

      Два вектора называют противоположно направленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 8.

      Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в разные стороны (концы векторов будут лежать по разные стороны от их общего начала).

Координаты вектора

Рис.8

      Определение. Два вектора равны, если, во-первых, они сонаправленные, а, во-вторых, имеют одинаковую длину.

      Другими словами, если совместить начала этих векторов, то их концы совпадут.

      Замечание. Два вектора равны тогда и только тогда, когда у них совпадают наборы координат.

Умножение вектора на число

      В результате умножения любого вектора   Умножение  вектора на число   на любое действительное число   k   получается такой вектор   Умножение  вектора на число,   который удовлетворяет следующим условиям:

  1. При   k > 0   вектор   Умножение вектора на число   сонаправлен с вектором   Умножение  вектора на число;
  2. При   k < 0   вектор   Умножение вектора на число   противоположно направлен с вектором   Умножение вектора на число;
  3. Длина вектора   Умножение вектора на число   равна длине вектора   Умножение вектора на число,   умноженной на число   |k|.

      Если вектор   Умножение вектора на число   имеет координаты

Равенство векторов

то вектор   Умножение вектора на число   имеет координаты

Равенство векторов

      Другими словами, если вектор умножается на число, то и все его координаты умножаются на это число.

Сложение и вычитание векторов

      Для того, чтобы найти сумму двух произвольных векторов   Сложение и вычитание векторов   и   Сложение и вычитание векторов   нужно совместить начало вектора   Сложение и вычитание векторов   с концом вектора   Сложение и вычитание векторов.   Тогда началом вектора   Сложение и вычитание векторов   будет начало вектора   Сложение  и вычитание векторов,   а концом вектора   Сложение и вычитание векторов   будет конец вектора   Сложение и вычитание векторов   (рис.9).

Сложение и вычитание векторов

Рис.9

      При этом, если

Сложение и вычитание векторов      и       Сложение и вычитание векторов

то

Сложение и вычитание векторов

      Этот факт часто формулируют так: «При сложении векторов их координаты складываются».

      Для того, чтобы найти разность двух произвольных векторов   Сложение и вычитание векторов   и   Сложение и вычитание векторов   нужно воспользоваться формулой

Сложение и вычитание векторов

      Операция вычитания двух векторов наглядно изображена на рисунке 10.

Сложение и вычитание векторов

Рис.10

      При этом, если

Сложение и вычитание векторов      и       Сложение и вычитание векторов

то

Сложение и вычитание векторов

      Этот факт часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора   Сложение и вычитание векторов,   нужно из координат вектора   Сложение и вычитание векторов   вычесть координаты вектора   Сложение и вычитание векторов».

Скалярное произведение векторов

      Определение. Скалярным произведением векторов   Скалярное произведение векторов   и   Скалярное произведение векторов,   которое обозначается   Скалярное  произведение векторов   называют число, равное произведению длин векторов   Скалярное произведение векторов   и   Скалярное произведение векторов,   умноженному на косинус угла между этими векторами (рис.11).

Сложение и вычитание векторов

Рис.11

      Таким образом,

Скалярное  произведение векторов(5)

      Из формулы (5) вытекает соотношение

Скалярное произведение векторов

которое можно сформулировать так: «Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя».

      Следствие 1. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

      Утверждение. Если в декартовой прямоугольной системе координат векторы имеют координаты

Скалярное произведение векторов      и       Скалярное произведение векторов (6)

то их скалярное произведение выражается формулой:

Скалярное произведение векторов (7)

      Другими словами, в декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

      Замечание. Зная координаты векторов (6), из формул (3), (5) и (7) можно найти косинус угла между векторами   Скалярное произведение векторов   и   Скалярное  произведение векторов

Скалярное  произведение векторов(8)

Примеры решения задач

      Пример 1. При каких значениях параметра   p   векторы   Векторы решение задач   и   Векторы решение задач   перпендикулярны?

      Решение. Воспользовавшись формулой (7), получим

Векторы решение задач

      Ответ: 4.

      Пример 2. При каких значениях параметров   α   и   β   векторы   (α; – 2; 5)   и   (1; β; – 4)   коллинеарны?

      Решение. Векторы, в силу изложенного выше, являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства:

Векторы решение задач

      Ответ:   Векторы решение задач.

      Пример 3. Длины векторов   Векторы решение задач   и   Векторы решение задач   равны   2   и   1 ,   соответственно, а угол между ними равен   60° . Найти длину вектора   Векторы решение задач.

      Решение. Рассмотрим рисунок 12.

Векторы решение задач

Рис.12

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получим

Векторы решение задач

      Ответ: Векторы решение задач.

      Пример 4. Длины векторов Векторы решение задач и Векторы решение задачравны 3 и 1, соответственно, а угол между ними равен   60°.   Найти длину вектора Сложение и вычитание векторов.

      Решение. Рассмотрим рисунок 13.

Векторы решение задач

Рис.13

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получим

Векторы решение задач

      Ответ:   Векторы решение задач .

      Пример 5. Найти угол между векторами   (3; 6; 2)   и   (4; 7; 4) .

      Решение. Воспользовавшись формулой (8), получим

Векторы решение задач

      Ответ:   Векторы решение задач .

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Векторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Векторы коллинеарные сонаправленные координаты длина умножение на число сложение вычитание скалярное произведение векторовиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


      Яндекс цитирования