Mосква, Северо-восток

Теорема Чевы

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия теорема ЧевыТеорема Чевы 1
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия теорема ЧевыТеорема Чевы 2
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия применения теоремы ЧевыПрименения теоремы Чевы
Теорема Чевы доказательство применения

Теорема Чевы 1

      Теорема Чевы 1. Если на сторонах   AB, BC   и   CA   треугольника   ABC   взяты соответственно точки   C1,   A1   и   B1   (рис.1), то отрезки    AA1,   BB1   и   CC1   пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения.(1)

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.1

      Доказательство необходимости. Докажем, что, если отрезки   AA1,   BB1   и   CC1   пересекаются в одной точке, то выполнено равенство (1). Для этого проведём через точку   B   прямую, параллельную прямой   AC ,   и обозначим буквами   D   и   C   точки пересечения прямых   CC1   и   AA1   с этой прямой соответственно (рис.2).

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.2

      Поскольку треугольник   AC1C   подобен треугольнику   DC1B ,   то выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения(2)

      Поскольку треугольник   AA1C   подобен треугольнику   BA1E ,   то выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения(3)

      Поскольку треугольник   CB1O   подобен треугольнику   DBO ,   то выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения(4)

      Поскольку треугольник   AOB1   подобен треугольнику   BOE ,   то выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения(5)

      Перемножая равенства (2 – 5), получим

Теорема Чевы доказательство применения
Теорема Чевы доказательство применения
Теорема Чевы доказательство применения

      Доказательство необходимости завершено.

      Доказательство достаточности. Докажем, что, если выполнено равенство (1), то отрезки   AA1,  BB1   и   CC1   пересекаются в одной точке.

      Воспользуемся методом «от противного». С этой целью обозначим буквой   O   точку пересечения отрезков   AA1   и   CC1   и предположим, что отрезок   BB1   не проходит через точку   O   (рис. 3).

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.3

      Проведём через точку   O   отрезок   BB2   (рис. 4).

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.4

      Поскольку отрезки   AA1,  BB2   и   CC1   пересекаются в одной точке, то выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения(6)

      Кроме того, выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения(1)

      Разделив равенство (6) на равенство (1), получим равенство

Теорема Чевы доказательство применения

следствием которого является равенство

Теорема Чевы доказательство применения(7)

      Из равенства (7) вытекает, что точки   B1   и   B2   совпадают.

      Доказательство достаточности завершено.

Теорема Чевы 2

      Теорема Чевы 2. Если на продолжениях за точку   B   сторон   AB   и   CB   треугольника   ABC   взяты соответственно точки   C1, A1 ,   а на стороне   CA   взята точка   B1 ,   то прямые   AA1 ,   BB1   и   CC1   пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения.(8)

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.5

      Доказательство необходимости (случай «а»). Докажем, что, если прямые   AA1,   BB1   и   CC1   пересекаются в одной точке (рис.5), то выполнено равенство (8). Для этого проведём через точку   B   прямую, параллельную прямой   AC ,   и обозначим буквами   D   и   C   точки пересечения прямых   AA1   и   CC1   с этой прямой соответственно (рис.6).

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.6

      Поскольку треугольник   1C   подобен треугольнику   BC1E,   то выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения(9)

      Поскольку треугольник   AA1C   подобен треугольнику   DA1B,   то выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения(10)

      Поскольку треугольник   ODB   подобен треугольнику   OAB1,   то выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения(11)

      Поскольку треугольник   BOE   подобен треугольнику   B1OC,   то выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения(12)

      Перемножая равенства (9 – 12), получим

Теорема Чевы доказательство применения
Теорема Чевы доказательство применения
Теорема Чевы доказательство применения

      Доказательство необходимости в случае «а» завершено.

      Доказательство необходимости (случай «b»). Докажем, что если прямые   AA1, BB1   и   CC1   параллельны (рис.7), то выполнено равенство (8).

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.7

      Проведём через точку   B   прямую, параллельную прямой   ,   и обозначим буквами   D   и   E   точки пересечения прямых   AA1   и   CC1   с этой прямой соответственно (рис.8).

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.8

      Поскольку треугольник   AC1C   подобен треугольнику   BC1E,   то выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения(13)

      Поскольку треугольник   AA1C   подобен треугольнику   DA1B,   то выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения(14)

      Поскольку четырёхугольники   ADBB1   и   BECB1   параллелограммы, то выполнено равенство

CB1 = BE,     B1A = DB ,

откуда вытекает равенство

Теорема Чевы доказательство применения(15)

      Перемножая равенства (13 – 15), получим

Теорема Чевы доказательство применения

      Доказательство необходимости в случае «b» завершено.

      Замечание. Доказательство достаточности условия (8) в случае 2 проводится аналогично тому, как это было сделано для случая 1, и мы оставляем его читателю в качестве упражнения.

Применения теоремы Чевы

      В разделе нашего справочника «Медиана треугольника» доказана теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Приведём другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. С этой целью рассмотрим медианы   AA1,  BB1   и   CC1   треугольника   ABC   (рис.9).

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.9

      Поскольку

Теорема Чевы доказательство применения

то выполнено равенство

Теорема Чевы доказательство применения,

откуда вытекает, что отрезки   AA1,  BB1   и   CC1   пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

      В разделе нашего справочника «Окружность, вписанная в треугольник» доказана теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Приведём другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. С этой целью рассмотрим биссектрисы   AA1,  BB1   и   CC1   треугольника   ABC   (рис.10).

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.10

      В соответствии со свойством биссектрисы справедливы равенства

Теорема Чевы доказательство применения
Теорема Чевы доказательство применения

      Если перемножить эти три равенства, то мы получим равенство

Теорема Чевы доказательство применения,

из которого вытекает, что отрезки AA1,  BB1 и CC1пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

      В разделе нашего справочника «Высота треугольника» доказана теорема о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Приведём другое доказательство этой теоремы, основанное на теореме Чевы. С этой целью рассмотрим сначала высоты   AA1,  BB1   и   CC1   остроугольного треугольника   ABC   (рис.11).

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.11

      Поскольку

Теорема Чевы доказательство применения
Теорема Чевы доказательство применения

то, перемножив эти три равенства, мы получим равенство

Теорема Чевы доказательство применения,

из которого вытекает, что отрезки AA1,  BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Теорема о пересечении высот остроугольного треугольника доказана.

      Теперь рассмотрим случай тупоугольного треугольника (рис. 12).

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.12

      На рисунке 12 изображён треугольник   ABC   с тупым углом   B,   высотами которого являются отрезки   AA1,  BB1   и   CC1.

      Поскольку

Теорема Чевы доказательство применения
Теорема Чевы доказательство применения

то, перемножив эти три равенства, мы получим равенство

Теорема Чевы доказательство применения,

из которого вытекает, что прямые   AA1,  BB1   и   CC1   пересекаются в одной точке. Теорема о пересечении высот тупоугольного треугольника доказана.

      Доказывать теорему о том, что в случае прямоугольного треугольника все высоты пересекаются в одной точке не нужно, поскольку все высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.

      Теорема о пересечении высот треугольника доказана полностью.

      Теперь с помощью теоремы Чевы докажем следующую теорему.

      Теорема. Рассмотрим окружность, вписанную в произвольный треугольник   ABC.   Пусть точки   A1,  B1   и   C1   – точки касания этой окружности со сторонами   BC, AC   и   AB   соответственно. Тогда отрезки   AA1,  BB1   и   CC1   пересекаются в одной точке (рис. 13).

Теорема Чевы доказательство применения

Рис.13

      Доказательство. Воспользовавшись свойством равенства касательных, проведённых к окружности из одной точки, выпишем следующие равенства:

AC1 = B1A,       BA1 = C1B ,       CB1 = A1C.

      Из этих равенств получаем:

Теорема Чевы доказательство применения
Теорема Чевы доказательство применения

      Отсюда с помощью теоремы Чевы заключаем, что отрезки   AA1,  BB1   и   CC1   пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

      Замечание. Точку пересечения отрезков   AA1,   BB1   и   CC1, о которых говорится в только что доказанной теореме, называют точкой Жергонна в честь французского математика Жозефа Жергонна (1771 г. – 1859 г.).

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Теорема Чевы применения доказательствоподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Теорема Чевы применения доказательствоиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования