e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрии Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"



две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул ОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул ОГЭ. Математика. 3000 задач с ответами. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Все задания части 1. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулОГЭ-2016. Математика. 36 вариантов. Типовые экзаменацион- ные варианты - Семенов А.Л.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул ОГЭ (ГИА). Математика. Задачник. Сборник заданий и методических рекомендаций - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул ЕГЭ супертренинг. Математика. Тематические тренировочные задания. Уровень В, С. - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задание C3. Решение неравенств с одной переменной - Прокофьев А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул Математика. Я сдам ЕГЭ! Рабочая тетрадь. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. 7-9 классы.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул Геометрия (Планиметрия)

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Фигура Рисунок Свойства

Две окружности на плоскости

Взаимное  расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

d = O1O2

Каждая из окружностей лежит вне другой

Взаимное  расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

d > r1 + r2

Внешнее касание двух окружностей

Взаимное  расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

d = r1 + r2

Внутреннее касание двух окружностей

Взаимное  расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

d = r1 – r2

Окружности пересекаются в двух точках

Взаимное  расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 < d < r1 + r2

Одна из окружностей лежит внутри другой

Взаимное  расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d < r1 – r2

Общие касательные к двум окружностям

Фигура Рисунок Свойства

Внешняя касательная к двум окружностям

Общие  касательные к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общие  касательные к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностей

Общие  касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках

Общие  касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностей

Общие  касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Общие  касательные к двум окружностям

Каждая из окружностей лежит вне другой

Общие  касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Общие  касательные к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Фигура Рисунок Формула

Внешняя касательная к двум окружностям

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Внутренняя касательная к двум окружностям

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Утверждение 1. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Доказательство. Для того, чтобы найти длину отрезка K1K2, опустим из точки O2 перпендикуляр       O2K3 на  прямую O1K1 (рис.1).

Доказательство формул  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Рис.1

      Поскольку четырёхугольник O2K2K1K3прямоугольник, то справедливы равенства

O2K3 = K1K2 ,     K1K3 = r2 ,     O1K3 = r1r2 .

      Воспользовавшись этими равенствами, из прямоугольного треугольника O1O2K3  получаем:

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Следовательно,

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d, то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Доказательство.  Для того, чтобы найти длину отрезка K1K2, опустим из точки O2 перпендикуляр O2K3 на  прямую O1K1 (рис.2).

Доказательство формул  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Рис.2

      Поскольку четырёхугольник O2K2K1K3прямоугольник, то справедливы равенства

O2K3 = K1K3 ,     K1K3 = r2 ,     O1K3 = r1 + r2 .

      Воспользовавшись этими равенствами, из прямоугольного треугольника O1O2K3  получаем:

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Следовательно,

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d, то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Доказательство. Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Доказательство формул  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Рис.3

следующие обозначения:

O2C = y,     CB = x .

      Тогда, воспользовавшись теоремой Пифагора для треугольников O1CB и O2CB, получим

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Поэтому

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Таким образом, справедлива формула:

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей ,

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования