Справочник по математикедве окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулГеометрия (Планиметрия)две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул Окружность и круг

 

Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям

Содержание

взаимное расположение двух окружностей Взаимное расположение двух окружностей
общие касательные к двум окружностям Общие касательные к двум окружностям
формулы для длин общих касательных и общей хорды Формулы для длин общих касательных и общей хорды
доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды
 

две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение двух окружностей на плоскости

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

d = O1O2

Каждая из окружностей лежит вне другой

Взаимное  расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

d > r1 + r2

Внешнее касание двух окружностей

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

d = r1 + r2

Внутреннее касание двух окружностей

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

d = r1 – r2

Окружности пересекаются в двух точках

Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 < d < r1 + r2

Одна из окружностей лежит внутри другой

Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d < r1 – r2

Общие касательные к двум окружностям

Определение общей внешней касательной к двум окружностям

Определение общей внешней касательной к двум окружностям

Определение

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Определение общей внутренней касательной к двум окружностям

Определение общей внутренней касательной к двум окружностям

Определение

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Случай внутреннего касания двух окружностей

Общие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Случай, когда окружности пересекаются в двух точках

Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Случай внешнего касания двух окружностей

Общие касательные к двум окружностям       Общие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Случай, когда каждая из окружностей лежит вне другой

Общие касательные к двум окружностям             Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Формула для длины общей внешней касательной к двум окружностям

Формула для длины общей внешней касательной к двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формула для длины общей внешней касательной к двум окружностям

Посмотреть доказательство

Формула для длины общей внутренней касательной к двум окружностям

Формула для длины общей внутренней касательной к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формула для длины общей внутренней касательной к двум окружностям

Посмотреть доказательство

Формула для длины общей хорды двух окружностей

Формула для длины общей хорды двух окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Формула для длины общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Формула для длины общей внешней касательной к двум окружностям

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для того, чтобы найти длину отрезка K1K2, опустим из точки O2 перпендикуляр O2K3 на прямую O1K1 (рис.1).

Доказательство формулы для длины общей внешней касательной к двум окружностям

Рис.1

Поскольку четырёхугольник O2K2K1K3прямоугольник, то справедливы равенства

O2K3 = K1K2 ,     K1K3 = r2 ,     O1K3 = r1 – r2 .

Воспользовавшись этими равенствами, из прямоугольного треугольника O1O2K3 получаем:

Доказательство формулы для длины общей внешней касательной к двум окружностям

Следовательно,

Доказательство формулы для длины общей внешней касательной к двум окружностям

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d, то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Доказательство формулы для длины общей внутренней касательной к двум окружностям

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для того, чтобы найти длину отрезка K1K2 , опустим из точки O2 перпендикуляр O2K3 на прямую O1K1 (рис.2).

Доказательство формулы для длины общей внутренней касательной к двум окружностям

Рис.2

Поскольку четырёхугольник O2K2K1K3прямоугольник, то справедливы равенства

O2K3 = K1K3 ,     K1K3 = r2 ,     O1K3 = r1 + r2 .

Воспользовавшись этими равенствами, из прямоугольного треугольника O1O2K3 получаем:

Доказательство формулы для длины общей внутренней касательной к двум окружностям

Следовательно,

Доказательство формулы для длины общей внутренней касательной к двум окружностям

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d, то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство формулы для длины общей хорды двух окружностей

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Доказательство формулы для длины общей хорды двух окружностей

Рис.3

следующие обозначения:

O2C = y,     CB = x .

Тогда, воспользовавшись теоремой Пифагора для треугольников O1CB и O2CB, получим

Доказательство формулы для длины общей хорды двух окружностей

Поэтому

Доказательство формулы для длины общей хорды двух окружностей

Таким образом, справедлива формула:

Доказательство формулы для длины общей хорды двух окружностей

что и требовалось доказать.

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика