e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ (ГИА)
Демонстрационные варианты ЕГЭ


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



Справочник по математике для школьников две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Справочник по математике для школьников две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулОГЭ 2018. Математика. Два модуля: "Алгебра", "Геометрия". Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Справочник по математике для школьников две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулОГЭ. Математика. 3000 задач с ответами. Задания части 1. Закрытый сегмент. Два модуля: "Алгебра", "Геометрия" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Справочник по математике для школьников две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий + 800 дополнительных заданий части 2 - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Справочник по математике для школьников две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулОГЭ 2018. Математика. Два модуля: "Алгебра", "Геометрия". Тематические тестовые задания. 15 вариантов заданий - Минаева С.С.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Справочник по математике для школьников две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулЕГЭ. Математика. 1000 задач с ответами и решениями. Профильный уровень. Все задания части 2 - Сергеев И.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Справочник по математике для школьников две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулОГЭ-2018. Математика. 36 вариантов. Типовые экзаменационные варианты - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Справочник по математике для школьников две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулОГЭ 2018. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение задач и уравнений в целых числах. 100 баллов - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулПодготовка к ОГЭ 2018. Математика. Методические указания. Математика. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Задания части 2. Тематический тренажёр - Сергеев И.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикедве окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулГеометрия (Планиметрия)

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

ФигураРисунокСвойства

Две окружности на плоскости

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

d = O1O2

Каждая из окружностей лежит вне другой

Взаимное  расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

d > r1 + r2

Внешнее касание двух окружностей

Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

d = r1 + r2

Внутреннее касание двух окружностей

Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

d = r1 – r2

Окружности пересекаются в двух точках

Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 < d < r1 + r2

Одна из окружностей лежит внутри другой

Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d < r1 – r2

Общие касательные к двум окружностям

ФигураРисунокСвойства

Внешняя касательная к двум окружностям

Общие касательные к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общие касательные к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностей

Общие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках

Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностей

Общие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Общие касательные к двум окружностям

Каждая из окружностей лежит вне другой

Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Общие касательные к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

ФигураРисунокФормула

Внешняя касательная к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Внутренняя касательная к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Утверждение 1. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Доказательство. Для того, чтобы найти длину отрезка K1K2, опустим из точки O2 перпендикуляр O2K3 на прямую O1K1 (рис.1).

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Рис.1

      Поскольку четырёхугольник O2K2K1K3прямоугольник, то справедливы равенства

O2K3 = K1K2 ,     K1K3 = r2 ,     O1K3 = r1r2 .

      Воспользовавшись этими равенствами, из прямоугольного треугольника O1O2K3 получаем:

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Следовательно,

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d, то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Доказательство. Для того, чтобы найти длину отрезка K1K2 , опустим из точки O2 перпендикуляр O2K3 на прямую O1K1 (рис.2).

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Рис.2

      Поскольку четырёхугольник O2K2K1K3прямоугольник, то справедливы равенства

O2K3 = K1K3 ,     K1K3 = r2 ,     O1K3 = r1 + r2 .

      Воспользовавшись этими равенствами, из прямоугольного треугольника O1O2K3 получаем:

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Следовательно,

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d, то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Доказательство. Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Рис.3

следующие обозначения:

O2C = y,     CB = x .

      Тогда, воспользовавшись теоремой Пифагора для треугольников O1CB и O2CB, получим

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Поэтому

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Таким образом, справедлива формула:

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей ,

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Электронный справочник по математике для школьников две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Электронный справочник по математике для школьников две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формулиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


      Яндекс цитирования