e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников


НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве признак параллельности прямой и плоскости ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве признак параллельности прямой и плоскости ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве признак параллельности прямой и плоскости ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве признак параллельности прямой и плоскости Геометрия (Стереометрия)

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Признак параллельности прямой и плоскости

      Все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве представлены в следующей таблице.

Фигура

Рисунок

Формулировка

Прямая лежит на плоскости (принадлежит плоскости)

Прямая лежит на плоскости

Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости.

Замечание. Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.

Прямая пересекает плоскость

Прямая пересекает плоскость

Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку.

Прямая параллельна плоскости

Прямая параллельна плоскости

Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (они не пересекаются)

      Утверждение 1. Предположим, что прямая   a   и плоскость   α  параллельны, а плоскость   β   проходит через прямую   a . Тогда возможны два случая:

  1. Плоскость   β   параллельна плоскости   α  (рис.1);
  2. Плоскость   β   пересекает плоскость   α .   В этом случае прямая   b ,   которая является линией пересечения плоскостей   α   и   β ,    будет параллельна прямой   a   (рис.2).
Взаимное расположение прямой и  плоскости в пространстве

 

Взаимное расположение прямой и  плоскости в пространстве
Рис.1 Рис.2

      Доказательство. Рассмотрим случай 2 и предположим противное. Предположим, что прямые   a   и   b   пересекаются в некоторой точке   P (рис.3) .

Взаимное расположение прямой и  плоскости в пространстве

Рис.3

      Но тогда точка   P   оказывается точкой пересечения прямой   a   и плоскости   α ,   и мы получаем противоречие с тем, что прямая   a   и плоскость  α  параллельны. Полученное противоречие и завершает доказательство утверждения 1.

      Утверждение 2  (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая   a ,   не лежащая в плоскости   α ,   параллельна некоторой прямой   b,   лежащей в плоскости   α ,   то прямая   a   и плоскость   α  параллельны.

      Доказательство. Докажем признак параллельности прямой и плоскости "от противного". Предположим, что прямая   a   пересекает плоскость  α  в некоторой точке   P . Проведем плоскость   β   через параллельные прямые   a   и   b  (рис. 4).

Признак параллельности прямой и плосксти

Рис.4

      Точка   P   лежит на прямой   a   и принадлежит плоскости   β.    Но по предположению точка   P   принадлежит и плоскости   α  , следовательно точка   P   лежит на прямой   b ,  по которой пересекаются плоскости   α  и   β .  Однако прямые     a   и   b   параллельны по условию и не могут иметь общих точек.

      Полученное противоречие завершает доказательство признака параллельности прямой и плоскости.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве признак параллельности прямой и плоскости курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве признак параллельности прямой и плоскости индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования