Mосква, Северо-восток

Движения плоскости. Теорема Шаля.
Афинные преобразования плоскости

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия преобразования плоскостиПреобразования плоскости
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия движения плоскостиДвижения плоскости
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия теорема ШаляТеорема Шаля
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия афинные преобразования плоскостиАфинные преобразования плоскости
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия классификация афинных преобразований плоскостиКлассификация афинных преобразований плоскости
Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие к прямой теорема Шаля

Преобразования плоскости

      Определение 1. Преобразованием плоскости называют правило, с помощью которого каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости.

      Из определения 1 вытекает, что, если F – преобразование плоскости α , а M – произвольная точка плоскости , то F(M) тоже является точкой плоскости α .

      Определение 2. Точку F(M) называют образом точки M при преобразовании F, а точку M называют прообразом точки F(M) при преобразовании F.

      Аналогично определяются образы и прообразы любых фигур на плоскости при преобразовании F.

      Определение 3. Преобразование плоскости называют взаимно однозначным преобразованием плоскости на себя, если разные точки имеют разные образы, и каждая точка плоскости имеет прообраз.

      Другими словами, при взаимно однозначном преобразовании плоскости на себя разные точки плоскости переходят в разные точки этой же плоскости, и в каждую точку плоскости переходит какая-то точка этой плоскости.

      Определение 4. Произведением (композицией) двух преобразований называют преобразование, которое получается в результате последовательного выполнения этих преобразований.

      Таким образом, если F  и G – два преобразования, то произведением Преобразования плоскости этих преобразований будет такое преобразование H, которое произвольную точку A плоскости переводит в точку A' этой плоскости, определяемую по формуле:

A' = H (A) = F (G (A)) .

Движения плоскости

      Определение 5. Движением плоскости называют такое преобразование плоскости, при котором расстояние между двумя любыми точками плоскости равно расстоянию между их образами.

      Следующие преобразования являются движениями плоскости:

1. Параллельный перенос (сдвиг) на заданный вектор

      При параллельном переносе плоскости на заданный векторПараллельный перенос на заданный вектор (рис.1) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что выполнено равенство

Параллельный перенос на заданный вектор

Параллельный перенос на заданный вектор
Параллельный перенос на заданный вектор

Рис.1

      Замечание. Движение, при котором каждая точка плоскости остаётся на своём месте, называют тождественным преобразованием. Тождественное преобразование можно рассматривать как параллельный перенос на вектор, равный нулю.

2. Поворот вокруг заданной точки, называемой центром поворота, на заданный угол

      При повороте плоскости вокруг точки O на угол φ (рис. 2) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что выполнены равенства

Поворот вокруг заданной точки называемой центром поворота на заданный угол

Поворот вокруг заданной точки называемой центром поворота на заданный угол
Поворот вокруг заданной точки называемой центром поворота на заданный угол

Рис.2

3. Центральная симметрия (симметрия относительно заданной точки, называемой центром симметрии)

      При центральной симметрии плоскости относительно точки O произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что серединой отрезка AA' является точка O – заданный центр симметрии (рис.3).

      Замечание. Центральная симметрия совпадает с поворотом плоскости вокруг центра симметрии на угол 180°.

Центральная симметрия симметрия относительно заданной точки называемой центром симметрии

Рис.3

4. Осевая симметрия (симметрия относительно заданной прямой, называемой осью симметрии)

      При осевой симметрии относительно прямой PQ (ось симметрии) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что, во-первых, прямая AA' перпендикулярна прямой PQ , а, во-вторых, точка пересечения прямых AA' и PQ является серединой отрезка AA'

Осевая  симметрия симметрия относительно заданной прямой называемой осью симметрии

Рис.4

5. Скользящая симметрия (композиция осевой симметрии относительно заданной прямой и параллельного переноса на заданный отличный от нуля вектор, параллельный этой прямой)

      Если прямая PQ – ось симметрии, а параллельный перенос задаётся вектором Скользящая  симметрия параллельным прямой  PQ , то результат скользящей симметрии можно условно изобразить так, как показано на рисунке 5.

Скользящая симметрия
Скользящая симметрия
Скользящая симметрия

Рис.5

Движения плоскости, сохраняющие ориентацию. Движения плоскости, изменяющие ориентацию. Теорема Шаля

      Рассмотрим на плоскости произвольный равносторонний треугольник и обозначим его вершины буквами A, B и C так, чтобы при обходе по сторонам треугольника в направлении

ABCA

треугольник оказывался расположенным слева (рис.6). При таком обозначении вершин обход треугольника будет осуществляться против часовой стрелки.

Движения плоскости

Рис.6

      Предположим теперь, что некоторое движение F переводит треугольник ABC в треугольник A'B'C', у которого

F(A) = A',       F(B) = B',       F(C) = C'.

      Поскольку каждое движение плоскости сохраняет расстояния между точками, то треугольник A'B'C' также будет равносторонним, однако возможны следующие два случая.

      В первом случае при обходе по сторонам треугольника A'B'C' в направлении

A'B'C'A'

треугольник A'B'C' располагается слева, и обход производится против часовой стрелки (рис.7).

Движения плоскости

Рис.7

Во втором случае при обходе по сторонам треугольника A'B'C' в направлении

A'B'C'A'

треугольник A'B'C' располагается справа, и обход производится по часовой стрелке (рис.8).

Движения плоскости

Рис.8

      Определение 6. Если при движении F осуществляется первый случай, то такое движение называют движением, сохраняющим ориентацию плоскости (движением 1-го рода, собственным движением). Если при движении F осуществляется второй случай, то такое движение называют движением, изменяющим ориентацию (движением 2-го рода, несобственным движением).

      Классификацию всех движений плоскости даёт следующая теорема Шаля.

      Теорема Шаля. Любое движение плоскости, сохраняющее ориентацию, является или параллельным переносом, или поворотом. Любое движение плоскости, изменяющее ориентацию, является или осевой симметрией, или скользящей симметрией.

Аффинные преобразования плоскости

      Определение 7. Аффинным преобразованием плоскости называют такое взаимно однозначное преобразование плоскости на себя, при котором образом любой прямой на плоскости является прямая.

      Поскольку каждое движение плоскости переводит прямые линии в прямые линии, то каждое движение является аффинным преобразованием.

      Однако аффинные преобразования не ограничиваются движениями плоскости. Следующие преобразования также являются аффинными преобразованиями плоскости:

1. Сжатие (растяжение) к прямой с заданным коэффициентом сжатия (растяжения)

      При сжатии (растяжении) плоскости к прямой PQ с заданным коэффициентом сжатия k (рис.9) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что выполнены следующие условия:

  • прямая AA' перпендикулярна прямой PQ ;
  • если обозначить буквой A" точку пересечения прямых AA' и PQ , то будет справедливо равенство
  • | A'A" | = | k | | AA" |;

  • если k > 0, то точки A и A' лежат по одну сторону от прямой PQ , если же k < 0, то точки A и A' лежат по разные стороны от прямой PQ .
Сжатие растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия растяжения
Сжатие растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия растяжения

Рис.9

      Замечание 1. В случае, когда | k | < 1, рассматриваемое аффинное преобразование называют сжатием к прямой PQ , если же | k | > 1, то это преобразование называют растяжением.

      Замечание 2. Будем использовать для рассматриваемого сжатия (растяжения) обозначение

Сжатие растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия  растяжения

2. Сжатие (растяжение) по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям с заданными коэффициентами сжатия (растяжения)

      Пусть PQ и MN – две взаимно перпендикулярных прямых, а числа k1 и k2коэффициенты сжатия (расширения) плоскости в направлении прямых PQ и MN соответственно. Тогда сжатием (растяжением) по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям PQ и MN с коэффициентами k1 и k2 (рис.10) называют композицию сжатий (растяжений).

Сжатие  растяжение по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям с заданными коэффициентами сжатия растяжения

Сжатие  растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия растяжения
Сжатие  растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия растяжения
Сжатие  растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия растяжения

Рис.10

3. Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия (растяжения)

      Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называют такое аффинное преобразование, при котором произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что выполнены следующие условия:

  • точка A' лежит на прямой AO ;
  • справедливо равенство
  • | OA' | = | k | | OA |;

  • если k > 0, то точки A и A' лежат по одну сторону от точки O, если же k < 0, то точки A и A' лежат по разные стороны от точки O (рис.11).

      Замечание. Рассмотрим две произвольных взаимно перпендикулярных прямых PQ и MN, пересекающихся в точке O. Тогда гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k совпадёт со сжатием (растяжением) по направлениям PQ и MN с коэффициентами, равными k . Другими словами, гомотетия является композицией сжатий (растяжений):

Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия растяжения

Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия растяжения
Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия растяжения

Рис.11

4. Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия

      Преобразованием подобия с коэффициентом подобия k называют аффинное преобразование, представленное в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения (рис. 12).

Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия
Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия
Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия

Рис.12

Классификация аффинных преобразований плоскости

      Справедлива следующая теорема о классификации аффинных преобразований плоскости.

      Теорема. Любое аффинное преобразование плоскости представляется в виде композиции движения плоскости и сжатий (растяжений) по двум взаимно перпендикулярным направлениям.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие  к прямой теорема Шаляподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие  к прямой теорема Шаляиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования