e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ (ГИА)
Демонстрационные варианты ЕГЭ




ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ (ГИА) по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие к прямой теорема ШаляЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие  к прямой теорема ШаляОГЭ 2018. Математика. Два модуля: "Алгебра", "Геометрия". Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие  к прямой теорема ШаляОГЭ. Математика. 3000 задач с ответами. Задания части 1. Закрытый сегмент. Два модуля: "Алгебра", "Геометрия" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие  к прямой теорема ШаляЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий + 800 дополнительных заданий части 2 - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие к прямой теорема ШаляОГЭ 2018. Математика. Два модуля: "Алгебра", "Геометрия". Тематические тестовые задания. 15 вариантов заданий - Минаева С.С.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие  к прямой теорема ШаляЕГЭ. Математика. 1000 задач с ответами и решениями. Профильный уровень. Все задания части 2 - Сергеев И.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие к прямой теорема ШаляОГЭ-2018. Математика. 36 вариантов. Типовые экзаменационные варианты - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие к прямой теорема ШаляЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие к прямой теорема ШаляОГЭ 2018. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие к прямой теорема ШаляПодготовка к ОГЭ 2018. Математика. Методические указания. Математика. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеАфинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие к прямой теорема ШаляГеометрия (Планиметрия)

Движения плоскости. Теорема Шаля.
Афинные преобразования плоскости

Преобразования плоскости

      Определение 1. Преобразованием плоскости называют правило, с помощью которого каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости.

      Из определения 1 вытекает, что, если F – преобразование плоскости α , а M – произвольная точка плоскости , то F(M) тоже является точкой плоскости α .

      Определение 2. Точку F(M) называют образом точки M при преобразовании F, а точку M называют прообразом точки F(M) при преобразовании F.

      Аналогично определяются образы и прообразы любых фигур на плоскости при преобразовании F.

      Определение 3. Преобразование плоскости называют взаимно однозначным преобразованием плоскости на себя, если разные точки имеют разные образы, и каждая точка плоскости имеет прообраз.

      Другими словами, при взаимно однозначном преобразовании плоскости на себя разные точки плоскости переходят в разные точки этой же плоскости, и в каждую точку плоскости переходит какая-то точка этой плоскости.

      Определение 4. Произведением (композицией) двух преобразований называют преобразование, которое получается в результате последовательного выполнения этих преобразований.

      Таким образом, если F  и G – два преобразования, то произведением Преобразования плоскости этих преобразований будет такое преобразование H, которое произвольную точку A плоскости переводит в точку A' этой плоскости, определяемую по формуле:

A' = H (A) = F (G (A)) .

Движения плоскости

      Определение 5. Движением плоскости называют такое преобразование плоскости, при котором расстояние между двумя любыми точками плоскости равно расстоянию между их образами.

      Следующие преобразования являются движениями плоскости:

1. Параллельный перенос (сдвиг) на заданный вектор

      При параллельном переносе плоскости на заданный векторПараллельный перенос на заданный вектор (рис.1) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что выполнено равенство

Параллельный перенос на заданный вектор

Параллельный перенос на заданный вектор

Рис.1

      Замечание. Движение, при котором каждая точка плоскости остаётся на своём месте, называют тождественным преобразованием. Тождественное преобразование можно рассматривать как параллельный перенос на вектор, равный нулю.

2. Поворот вокруг заданной точки, называемой центром поворота, на заданный угол

      При повороте плоскости вокруг точки O на угол φ (рис. 2) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что выполнены равенства

Поворот вокруг заданной точки называемой центром поворота на заданный угол

Поворот вокруг заданной точки называемой центром поворота на заданный угол

Рис.2

3. Центральная симметрия (симметрия относительно заданной точки, называемой центром симметрии)

      При центральной симметрии плоскости относительно точки O произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что серединой отрезка AA' является точка O – заданный центр симметрии (рис.3).

      Замечание. Центральная симметрия совпадает с поворотом плоскости вокруг центра симметрии на угол 180°.

Центральная симметрия симметрия относительно заданной точки называемой центром симметрии

Рис.3

4. Осевая симметрия (симметрия относительно заданной прямой, называемой осью симметрии)

      При осевой симметрии относительно прямой PQ (ось симметрии) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что, во-первых, прямая AA' перпендикулярна прямой PQ , а, во-вторых, точка пересечения прямых AA' и PQ является серединой отрезка AA'

Осевая  симметрия симметрия относительно заданной прямой называемой осью симметрии

Рис.4

5. Скользящая симметрия (композиция осевой симметрии относительно заданной прямой и параллельного переноса на заданный отличный от нуля вектор, параллельный этой прямой)

      Если прямая PQ – ось симметрии, а параллельный перенос задаётся вектором Скользящая  симметрия параллельным прямой  PQ , то результат скользящей симметрии можно условно изобразить так, как показано на рисунке 5.

Скользящая симметрия

Рис.5

Движения плоскости, сохраняющие ориентацию. Движения плоскости, изменяющие ориентацию. Теорема Шаля

      Рассмотрим на плоскости произвольный равносторонний треугольник и обозначим его вершины буквами A, B и C так, чтобы при обходе по сторонам треугольника в направлении

ABCA

треугольник оказывался расположенным слева (рис.6). При таком обозначении вершин обход треугольника будет осуществляться против часовой стрелки.

Движения плоскости

Рис.6

      Предположим теперь, что некоторое движение F переводит треугольник ABC в треугольник A'B'C', у которого

F(A) = A',       F(B) = B',       F(C) = C'.

      Поскольку каждое движение плоскости сохраняет расстояния между точками, то треугольник A'B'C' также будет равносторонним, однако возможны следующие два случая.

      В первом случае при обходе по сторонам треугольника A'B'C' в направлении

A'B'C'A'

треугольник A'B'C' располагается слева, и обход производится против часовой стрелки (рис.7).

Движения плоскости

Рис.7

Во втором случае при обходе по сторонам треугольника A'B'C' в направлении

A'B'C'A'

треугольник A'B'C' располагается справа, и обход производится по часовой стрелке (рис.8).

Движения плоскости

Рис.8

      Определение 6. Если при движении F осуществляется первый случай, то такое движение называют движением, сохраняющим ориентацию плоскости (движением 1-го рода, собственным движением). Если при движении F осуществляется второй случай, то такое движение называют движением, изменяющим ориентацию (движением 2-го рода, несобственным движением).

      Классификацию всех движений плоскости даёт следующая теорема Шаля.

      Теорема Шаля. Любое движение плоскости, сохраняющее ориентацию, является или параллельным переносом, или поворотом. Любое движение плоскости, изменяющее ориентацию, является или осевой симметрией, или скользящей симметрией.

Аффинные преобразования плоскости

      Определение 7. Аффинным преобразованием плоскости называют такое взаимно однозначное преобразование плоскости на себя, при котором образом любой прямой на плоскости является прямая.

      Поскольку каждое движение плоскости переводит прямые линии в прямые линии, то каждое движение является аффинным преобразованием.

      Однако аффинные преобразования не ограничиваются движениями плоскости. Следующие преобразования также являются аффинными преобразованиями плоскости:

1. Сжатие (растяжение) к прямой с заданным коэффициентом сжатия (растяжения)

      При сжатии (растяжении) плоскости к прямой PQ с заданным коэффициентом сжатия k (рис.9) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что выполнены следующие условия:

  • прямая AA' перпендикулярна прямой PQ ;
  • если обозначить буквой A" точку пересечения прямых AA' и PQ , то будет справедливо равенство
  • | A'A" | = | k | | AA" |;

  • если k > 0, то точки A и A' лежат по одну сторону от прямой PQ , если же k < 0, то точки A и A' лежат по разные стороны от прямой PQ .

Сжатие растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия  растяжения

Рис.9

      Замечание 1. В случае, когда | k | < 1, рассматриваемое аффинное преобразование называют сжатием к прямой PQ , если же | k | > 1, то это преобразование называют растяжением.

      Замечание 2. Будем использовать для рассматриваемого сжатия (растяжения) обозначение

Сжатие растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия  растяжения

2. Сжатие (растяжение) по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям с заданными коэффициентами сжатия (растяжения)

      Пусть PQ и MN – две взаимно перпендикулярных прямых, а числа k1 и k2коэффициенты сжатия (расширения) плоскости в направлении прямых PQ и MN соответственно. Тогда сжатием (растяжением) по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям PQ и MN с коэффициентами k1 и k2 (рис.10) называют композицию сжатий (растяжений).

Сжатие  растяжение по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям с заданными коэффициентами сжатия растяжения

Сжатие  растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия растяжения

Рис.10

3. Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия (растяжения)

      Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называют такое аффинное преобразование, при котором произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что выполнены следующие условия:

  • точка A' лежит на прямой AO ;
  • справедливо равенство
  • | OA' | = | k | | OA |;

  • если k > 0, то точки A и A' лежат по одну сторону от точки O, если же k < 0, то точки A и A' лежат по разные стороны от точки O (рис.11).

      Замечание. Рассмотрим две произвольных взаимно перпендикулярных прямых PQ и MN, пересекающихся в точке O. Тогда гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k совпадёт со сжатием (растяжением) по направлениям PQ и MN с коэффициентами, равными k . Другими словами, гомотетия является композицией сжатий (растяжений):

Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия растяжения

Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия растяжения

Рис.11

4. Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия

      Преобразованием подобия с коэффициентом подобия k называют аффинное преобразование, представленное в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения (рис. 12).

Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия

Рис.12

Классификация аффинных преобразований плоскости

      Справедлива следующая теорема о классификации аффинных преобразований плоскости.

      Теорема. Любое аффинное преобразование плоскости представляется в виде композиции движения плоскости и сжатий (растяжений) по двум взаимно перпендикулярным направлениям.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие  к прямой теорема Шаляподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Афинные преобразования плоскости движения параллельный перенос поворот центральная и осевая симметрии гомотетия подобие сжатие  к прямой теорема Шаляиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


      Яндекс цитирования