e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ (ГИА)
Демонстрационные варианты ЕГЭ

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикезамнкнутая ломаная многоугольник диагонали свойства углов многоугольника внешние углы смежные углы доказательстваГеометрия (Планиметрия)

Многоугольники

Определение многоугольника

      Рассмотрим n отрезков

[A1 A2],   [A2 A3],   …   , [An An +1](1)

причём таких, что два любых отрезка, имеющих общий конец, не лежат на одной прямой (рис.1).

Многоугольник замкнутая ломаная

Рис. 1

      Определение 1. Ломаной линией с n звеньями называют фигуру L, составленную из отрезков (1), то есть фигуру, заданную равенством

L = [A1 A2] U [A2 A3] U   …  U [An An +1]

      В случае, когда точки A1 и An +1 совпадают, ломаную линию называют замкнутой ломаной линией

(рис. 2), в противном случае её называют незамкнутой (рис.1).

Многоугольник замкнутая ломаная

Рис. 2

      Определение 2. Многоугольником называют часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией без самопересечений (рис. 3). Отрезки, составляющие ломаную линию (звенья), называют сторонами многоугольника. Концы отрезков называют вершинами многоугольника.

Многоугольник замкнутая ломаная

Рис. 3

      Определение 3. Многоугольник называют n – угольником, если он имеет n сторон.

      Таким образом, многоугольник, имеющий 3 стороны, называют треугольником, многоугольник, имеющий 4 стороны,  называют  четырёхугольником и т.д.

      Определение 4 . Периметром многоугольника называют сумму длин всех сторон многоугольника.

      Величину, равную половине периметра, называют полупериметром.

Диагонали n - угольника

ФигураРисунокОписание

Диагональ
многоугольника

диагонали многоугольника

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника

Диагонали
n – угольника, выходящие из одной вершины

диагонали многоугольника

Диагонали, выходящие из одной вершины
n
– угольника , делят n – угольник на
n – 2 треугольника

Все диагонали
n
– угольника

диагонали многоугольника

Число диагоналей n – угольника равно

диагонали многоугольника

Внешний угол многоугольника

      Определение 5 . Два угла называют смежными, если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).

Внешний угол многоугольника смежные углы

Рис.1

      Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).

Внешний угол многоугольника смежные углы

Рис.2

      Замечание. Мы рассматриваем только выпуклые многоугольники.

Свойства углов треугольника

Фигура РисунокФормулировка теоремы

Углы треугольника

Свойства углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

α + β + γ = 180°

Посмотреть доказательство

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним

δ = α + β

Посмотреть доказательство

Свойства углов многоугольника

ФигураРисунокФормулировка теоремы

Углы
n – угольника

Свойства углов многоугольника

Сумма углов многоугольника равна

Свойства углов многоугольника

Посмотреть доказательство

Внешние углы
n – угольника

Свойства углов многоугольника

Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°

Посмотреть доказательство

Свойства углов правильного n – угольника

Фигура РисунокФормулировка теоремы

Углы правильного
n – угольника

Свойства углов правильного многоугольника

Все углы правильного n – угольника равны

Свойства углов правильного многоугольника

Внешние углы
правильного
n – угольника

Свойства углов правильного многоугольника

Все внешние углы правильного
n – угольника
равны

Свойства углов правильного многоугольника

Доказательства свойств углов многоугольника

      Теорема 1. В любом треугольнике сумма углов равна 180°.

      Доказательство. Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, параллельную прямой AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).

Свойства углов треугольника доказательство

Рис.3

      Углы ABD и BAC равны как внутренние накрест лежащие. По той же причине равны углы ACB и CBE. Поскольку углы ABD, ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180°. Теорема доказана.

      Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

      Доказательство. Проведём через вершину C прямую CE, параллельную прямой AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).

Свойства углов треугольника доказательство

Рис.4

      Углы ABC и BCE равны как внутренние накрест лежащие. Углы BAC и ECD  равны как соответственные. Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC. Теорема доказана.

      Замечание. Теорема 1 является следствием теоремы 2.

      Теорема 3. Сумма углов n – угольника равна

Свойства углов многоугольника

      Доказательство. Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).

Свойства углов многоугольника

Рис.5

      Получим n треугольников:

OA1A2OA2A3,  …  OAnA1

      Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O. Поэтому сумма всех углов n – угольника равна

Свойства углов многоугольника

что и требовалось доказать.

      Теорема 4. Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Свойства углов многоугольника

Рис.6

      В соответствии рисунком 6 справедливы равенства

Свойства углов многоугольника

      Теорема доказана.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

замнкнутая ломаная многоугольник диагонали свойства углов многоугольника треугольника правильного многоугольника внешний угол смежные углы сумма угловподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

замнкнутая ломаная многоугольник диагонали свойства углов многоугольника треугольника правильного многоугольника внешний угол смежные углы сумма угловиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


      Яндекс цитирования