e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеТеорема Менелая применение доказательствоГеометрия (Планиметрия)

Теорема Менелая

      Теорема Менелая 1. Если на сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки C1 и A1, а точка B1 взята на продолжении стороны AC за точку C (рис.1), то точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения.(1)

Теорема Менелая доказательство применения

Рис.1

      Доказательство необходимости. Докажем, что если точки   C1, A1 и B1 лежат на одной прямой, то выполнено равенство (1). Для этого проведём через точку C прямую, параллельную прямой AB, и обозначим буквой D её точку пересечения с прямой C1B1 (рис.2).

Теорема Менелая доказательство применения

Рис.2

      Поскольку треугольник AC1B1 подобен треугольнику CDB1, то выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения(2)

      Поскольку треугольник C1BA1 подобен треугольнику A1DC, то выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения (3)

      Перемножая равенства (2) и (3), получим

Теорема Менелая доказательство применения

      Доказательство необходимости завершено.

      Доказательство достаточности. Докажем, что если выполнено равенство (1), то точки C1, A1 и   B1 лежат на одной прямой. Воспользуемся методом «от противного». С этой целью проведём прямую через точки C1 и A1 и обозначим символом B2 точку пересечения этой прямой с прямой AC (рис. 3).

Теорема Менелая доказательство применения

Рис.3

      Поскольку точки C1, A1 и B2 лежат на одной прямой, то выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения. (4)

      Кроме того, выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения.(1)

      Разделив равенство (4) на равенство (1), получим равенство

Теорема Менелая доказательство применения

следствием которого является равенство

Теорема Чевы доказательство применения (5)

      Воспользовавшись свойствами производных пропорций, из равенства (5) получаем, что точки B1  и B2 совпадают.

      Доказательство достаточности завершено.

      Теорема Менелая 1 доказана.

      Замечание. Если чуть-чуть изменить формулировку теоремы Менелая 1, выбрав точку B1 на продолжении стороны AC за точку A (рис.4), то доказательство теоремы Менелая практически не изменится, и мы предоставляем его читателю в качестве упражнения.

Теорема Менелая доказательство применения

Рис.4

      Теорема Менелая 2. Если на продолжениях сторон AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1 (рис.5), то точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения. (6)

Теорема Менелая доказательство применения

Рис.5

      Замечание. Доказательство теоремы Менелая 2 почти дословно повторяет доказательство теоремы Менелая 1, и мы оставляем его читателю в качестве упражнения.

      Для того, чтобы показать, как можно применять теорему Менелая, решим следующую задачу.

      Задача. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно, причем

Теорема Менелая доказательство применения

Отрезки AE и CD пересекаются в точке F (рис.6). В каком отношении отрезки AE и CD делятся точкой F?

Теорема Менелая доказательство применения

Рис.6

      Решение. Применив к треугольнику BCD теорему Менелая (рис. 7),

Теорема Менелая доказательство применения

Рис.7

получим

Теорема Менелая доказательство применения

      Применив к треугольнику ABE теорему Менелая (рис. 8),

Теорема Менелая доказательство применения

Рис.8

получим

Теорема Менелая доказательство применения

      Ответ:

Теорема Менелая доказательство применения

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Теорема Менелая применение доказательствоподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Теорема Менелая применение доказательствоиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования